Geometrie v prostoru

1103212905

Část: 
C
Pravidelný čtyřboký jehlan \( ABCDV \) s délkou podstavné hrany \( 6 \) a tělesovou výškou \( 6 \) je umístěn v souřadném systému (viz obrázek). Určete parametrické vyjádření průsečnice \( p \) rovin \( \alpha \) a \( \beta \), kde \( \alpha \) je rovina procházející body \( B \), \( C \) a \( V \) a \( \beta \) je rovina procházející body \( A \), \( D \) a \( V \). Dále vypočtěte velikost odchylky \( \varphi \) mezi rovinami \( \alpha \) a \( \beta \). Odchylku \( \varphi \) zaokrouhlete na minuty.
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=0;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3+t, &\\ z&=6+2t;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)

1103233601

Část: 
C
V krychli $ABCDEFGH$ s hranou délky $1$, která je umístěna v souřadném systému, je vyznačen pravidelný čtyřstěn $ACHF$ (viz obrázek). Určete velikost jeho tělesové výšky. \[ \] Nápověda: Vypočtěte např. vzdálenost bodu $F$ od roviny $ACH$.
$\frac{2\sqrt3}3$
$\frac{\sqrt3}3$
$\frac{2\sqrt6}3$
$\frac23$

1103233602

Část: 
C
V krychli $ABCDEFGH$ s hranou délky $1$, která je umístěna v souřadném systému, je vyznačen pravidelný čtyřstěn $ACHF$ (viz obrázek). Vypočtěte vzdálenost jeho protilehlých hran. \[ \] Nápověda: Protilehlé hrany čtyřstěnu leží na mimoběžných přímkách. Jejich vzdálenost je rovna vzdálenosti středu jedné hrany od hrany k ní protilehlé.
$1$
$\sqrt3$
$\frac{\sqrt3}2$
$\frac{\sqrt5}2$

1103233603

Část: 
C
V krychli $ABCDEFGH$ s hranou délky $1$, která je umístěna v souřadném systému, je vyznačen pravidelný čtyřstěn $ACHF$ (viz obrázek). Vypočtěte odchylku jeho stěn a zaokrouhlete ji na minuty.
$70^{\circ}32'$
$54^{\circ}44'$
$45^{\circ}$
$51^{\circ}4'$

1103233604

Část: 
C
Určete obraz bodu $A=[1;10;-8]$ v osové souměrnosti podle přímky $p$: \begin{align*} p\colon x&= 1-2t, \\ y&= 3+t, \\ z&= -1+3t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Nápověda: viz obrázek
$A'=[5;-6;0]$
$A'=[3;2;-4]$
$A'=[-1;11;-5]$
$A'=[-2;10;-24]$

2010008703

Část: 
C
Přímka \( q \) je určena body \( K=[6;6;7] \) a \( L=[4;0;2] \) (viz obrázek). Najdi parametrické vyjádření přímky \( q' \), která jsou souměrná s přímkou \( q \) v rovinné souměrnosti podle souřadnicové roviny \( xz \).
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

2010008704

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 3 \) je umístěna v souřadnicové soustavě (viz obrázek). Určete vzdálenost rovnoběžných rovin \( \rho \) a \( \sigma \), kde \( \rho \) je určena body \( D \), \( E \), \( G \) a \( \sigma \) prochází body \( A \), \( C \), \( F \).
\( |\rho\sigma|=\sqrt3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{4\sqrt3}3 \)

2010008705

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 4 \) je umístěna v souřadnicové soustavě (viz obrázek). Určete vzdálenost rovnoběžných přímek \( p=PQ\) a \( r=RS \), kde body \( P \), \( Q \), \( R\) a \( S \) jsou po řadě středy hran \(BF\), \(BC\), \(EH\) a \(DH\).
\( |pr|=2\sqrt6 \)
\( |pr|=4\sqrt3 \)
\( |pr|=6\sqrt2 \)
\( |pr|=4\sqrt2 \)

2010008706

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 4 \) je umístěna v souřadnicové soustavě (viz obrázek). Určete ochylku \( \psi \) roviny \( \rho \), která prochází body \( B \), \( D \) a \( H \) a přímky \( CF \). Nápověda: Odchylka přímky od roviny je odchylka přímky od jejího kolmého průmětu do této roviny.
\( \psi = \frac{\pi}6 \)
\( \psi = \frac{\pi}{12} \)
\( \psi = \frac{\pi}4 \)
\( \psi = \frac{\pi}3 \)