Soustavy lineárních rovnic a nerovnic

Máme nerovnoramenné váhy s proměnnou délkou jednoho z ramen (takové váhy se často označují jako přezmeny a využívají se např. v rybářství pro vážení vylovených ryb). Na jedné straně vodorovné "tyče" (vahadla) je zavěšeno břemeno a někde na druhé straně je závaží. Stačí jediné závaží, které se posouvá po delším rameni páky tak dlouho, až nastane rovnováha. Břemeno se zavěšuje vždy $5\mathrm{cm}$ od bodu závěsu vahadla (viz obrázek). Má-li břemeno tíhu $80\mathrm{N}$, dosáhneme rovnováhy, když posuneme vyrovnávací závaží až na konec vahadla. Má-li břemeno tíhu $60\mathrm{N}$, rovnováha nastane, když závaží bude od bodu závěsu vzdáleno $30\mathrm{cm}$. Jak dlouhé je vahadlo? $$$$ Nápověda: Váhy představují dvojzvratnou páku. Platí podmínka rovnováhy: $F_1\cdot a=F_2\cdot b$, kde $F_1$ je tíha břemene ve vzdálenosti $a$ od bodu závěsu a $F_2$ je tíha závaží ve vzdálenosti $b$ od bodu závěsu.

Je dána soustava rovnic: $$\begin{array}{rlr}x-y=-3& & \\ 2x+z=-5& & \\ x+y-z=0& & \end{array}$$ Při jejím řešení pomocí Cramerova pravidla použijeme determinanty čtyř matic. Uspořádáme je podle velikosti. Jaký je největší z těchto determinantů?

Je dána soustava rovnic: $$\begin{array}{rlr}2x-y+z=5& & \\ x+2y-3z=17& & \\ x+y-2z=12& & \end{array}$$ Při jejím řešení pomocí Cramerova pravidla použijeme determinanty čtyř matic. Jaký je součet všech těchto determinantů?

Maticí soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých je $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& -5& 2\\ 1& 0& -3\end{array}\right).$$ Jaký je sloupec pravé strany, je-li řešením uspořádaná trojice $[-7;2;-1]$?