Soustavy lineárních rovnic a nerovnic

1003034506

Část: 
B
Kamil je schopen posekat louku za \( 12 \) hodin. Zdeněk má lepší sekačku a stejnou louku by sám posekal za \( 8 \) hodin. Domluvili se, že Kamil začne sekat sám a Zdeněk se přidá později tak, aby s posekáním louky byli hotovi za \( 9 \) hodin. Jak dlouho budou sekat oba společně?
\( 2 \) hodiny
\( 7 \) hodin
\( 6 \) hodin
\( 3 \) hodiny

1003060501

Část: 
B
Která z následujících soustav rovnic nemá žádné řešení?
\(\begin{aligned} 2x-y+3z&=2 \\ 6x-3y+9z&=4 \\ x+y+z&=1 \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} 2x-y+3z&=2 \\ 6x-3y+9z&=6 \\ x+y+z&=1 \\ \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} 2x-y+3z&=2 \\ 6x-2y+z&=4 \\ x+y+z&=1 \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} 2x-y+3z&=2 \\ 6x-3y+9z&=6 \\ 4x-4y+6z&=4 \end{aligned} \)

1003060502

Část: 
B
Je dána soustava rovnic: \[ \begin{aligned} x+y-2z&=0, \\ x+2y+3z&=0, \\ -2x+y+z&=2. \end{aligned} \] Která z následujících soustav je s ní ekvivalentní? (Poznámka: Způsob řešení soustav lineárních rovnic úpravou soustavy na tento tvar označujeme jako Gaussovu eliminační metodu.)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+5z&=0 \\ 18z&=-2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y-5z&=0 \\ 12z&=2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+5z&=0 \\ 18z&=2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+z&=0 \\ 6z&=2 \end{aligned} \)

1003060503

Část: 
B
Je dána soustava rovnic: \[ \begin{aligned} x-y-z&=0, \\ 2x-y+3z&=1, \\ -3x+2y+z&=2. \end{aligned} \] Která z následujících soustav je s ní ekvivalentní? (Poznámka: Způsob řešení soustav lineárních rovnic úpravou soustavy na tento tvar označujeme jako Gaussovu eliminační metodu.)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ y+5z&=1 \\ 3z&=3 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ y+5z&=-1 \\ 3z&=-1 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ -3y-z&=-1 \\ 5z&=5 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ -3y-z&=-1 \\ 5z&=-7 \end{aligned} \)

1003060504

Část: 
B
Jsou dány čtyři soustavy rovnic. Kolik z uvedených soustav má nekonečně mnoho řešení? \[ \begin{array}{c|c} \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8 \\ -2x+3y-5z&=4 \\ x+y+z&=1 \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ 6x-9y+15z&=12\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)} \\\hline \text{\(\begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ -2x+3y+5z&=4\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} x+y+z&=1 \\ 2x+2y+2z&=2 \\ -\frac x2-\frac y2-\frac z2&=-\frac12 \end{aligned}\)} \end{array} \]
\( 2 \)
\( 1 \)
\( 3 \)
\( 4 \)

1003083004

Část: 
B
Jakou hodnotu musí mít reálný koeficient \( a \), aby následující soustava rovnic neměla řešení? \[ \begin{aligned} \frac25x-\frac a4y&=4 \\ -\frac x4 + \frac{5y}8&=\frac52 \end{aligned}\]
\( 4 \)
\( -\frac52 \)
Takové reálné číslo \( a \) neexistuje.
\( -4 \)

1103034507

Část: 
B
Máme nerovnoramenné váhy s proměnnou délkou jednoho z ramen (takové váhy se často označují jako přezmeny a využívají se např. v rybářství pro vážení vylovených ryb). Na jedné straně vodorovné "tyče" (vahadla) je zavěšeno břemeno a někde na druhé straně je závaží. Stačí jediné závaží, které se posouvá po delším rameni páky tak dlouho, až nastane rovnováha. Břemeno se zavěšuje vždy \( 5\,\mathrm{cm} \) od bodu závěsu vahadla (viz obrázek). Má-li břemeno tíhu \( 80\,\mathrm{N} \), dosáhneme rovnováhy, když posuneme vyrovnávací závaží až na konec vahadla. Má-li břemeno tíhu \( 60\,\mathrm{N} \), rovnováha nastane, když závaží bude od bodu závěsu vzdáleno \( 30\,\mathrm{cm} \). Jak dlouhé je vahadlo? \[ \] Nápověda: Váhy představují dvojzvratnou páku. Platí podmínka rovnováhy: \( F_1\cdot a=F_2\cdot b \), kde \( F_1 \) je tíha břemene ve vzdálenosti \( a \) od bodu závěsu a \( F_2 \) je tíha závaží ve vzdálenosti \( b \) od bodu závěsu.
\( 45\,\mathrm{cm} \)
\( 54\,\mathrm{cm} \)
\( 40\,\mathrm{cm} \)
\( 35\,\mathrm{cm} \)

2000019001

Část: 
B
Jsou dány čtyři matice: \[\] $\left (\array{ 1& -1& 0\cr 2& 0& 1\cr 1& 1& -1} \right ),$ $\left (\array{ 1& -3& 0\cr 2& -5& 1\cr 1& 0& -1} \right ),$ $\left (\array{ -3& -1& 0\cr -5& 0& 1\cr 0& 1& -1} \right ),$ $\left (\array{ 1& -1& -3\cr 2& 0& -5\cr 1& 1& 0} \right )$ \[\] Chceme si procvičit Cramerovo pravidlo pro řešení soustav lineárních rovnic. Která z následujících soustav je řešitelná pomocí determinantů uvedených čtyř matic?
\[\begin{aligned} x- y = -3 & & \\2x + z = -5 & & \\x + y -z= 0 & & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} x- y-3z = 0 & & \\2x - 5z = 1 & & \\x + y = -1& & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} -3x- y = 0 & & \\-5x + z = 1 & & \\ y -z= -1& & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} x- y = 3 & & \\2x + z = 5 & & \\x + y -z= 0 & & \end{aligned}\]

2000019002

Část: 
B
Je dána soustava rovnic: \[\begin{aligned} x- y = -3 & & \\2x + z = -5 & & \\x + y -z= 0 & & \end{aligned}\] Při jejím řešení pomocí Cramerova pravidla použijeme determinanty čtyř matic. Uspořádáme je podle velikosti. Jaký je největší z těchto determinantů?
\(8\)
\(4\)
\(-4\)
\(12\)

2000019003

Část: 
B
Je dána soustava tří lineárních rovnic o třech neznámých \(x\), \(y\), \(z\). Sloupec pravé strany této soustavy je: \[ \left (\array{ 5\cr 17\cr 12} \right ) \] Při řešení této soustavy Cramerovým pravidlem byly použity i determinanty matic \[ \left (\array{ 2& 5& 1\cr 1& 17& -3\cr 1& 12& -2} \right ),~ \left (\array{ 2& -1& 5\cr 1& 2& 17\cr 1& 1& 12} \right ) \] Která z následujících soustav byla takto řešena?
\[\begin{aligned} 2x- y +z= 5 & & \\x +2y-3 z = 17 & & \\x + y -2z= 12 & & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 2x+5 y +z= -1 & & \\x +17y-3 z = 2& & \\x +12 y -2z= 1 & & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 2x- y +z= -5 & & \\x +2y-3 z = -17 & & \\ x+y -2z= -12& & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 2x+ y-z = 5 & & \\x-2y + 3z = 17 & & \\x - y +2z= 12 & & \end{aligned}\]