A

2010005104

Časť: 
A
Vypočítajte na intervale \((0;+\infty)\) nasledujúci integrál. \[ \int \left (2x^{-1}+\frac{2} {x^2} - 3x^{-3} \right )\, \mathrm{d}x \]
\(2\ln |x| - \frac{2} {x} +\frac{3} {2x^{2}} + c,\ c\in \mathbb{R}\)
\(2\ln |x| - \frac{2} {x} -\frac{3} {2x^{2}} + c,\ c\in \mathbb{R}\)
\(2\ln |x| + \frac{2} {x} +\frac{3} {2x^{2}} + c,\ c\in \mathbb{R}\)
\(2\ln |x| + \frac{2} {x} -\frac{3} {2x^{2}} + c,\ c\in \mathbb{R}\)

2010005103

Časť: 
A
Vypočítajte na intervale \( (0;\infty) \) nasledujúci integrál. \[ \int\left(6\sqrt x-5\sqrt[3]{x^2}+10\sqrt[4]{x}\right)\mathrm{d}x \]
\( 4x\sqrt x-3x\sqrt[3]{x^2}+8x\sqrt[4]{x}+c,\ c\in\mathbb{R} \)
\( 9 x\sqrt x-\frac{25}3 x^3\sqrt[3]{x^2}+\frac{25}2 x\sqrt[4]{x}+c,\ c\in\mathbb{R} \)
\( 4\sqrt x-3\sqrt[3]{x^2}+8\sqrt[4]{x}+c,\ c\in\mathbb{R} \)
\(x+20\sqrt{x}+c,\ c\in\mathbb{R} \)

2010005102

Časť: 
A
Vypočítajte na intervale \( \left(\frac{\pi}2;\pi\right) \) nasledujúci integrál. \[ \int\left(5 \sin x-\frac3{\cos^2⁡x}-\frac7{\sin^2⁡x}\right)\mathrm{d}x \]
\( -5\cos x-3\,\mathrm{tg⁡}\,x+7\,\mathrm{cotg}\,⁡x+c,\ c\in\mathbb{R} \)
\( 5\cos x+3\,\mathrm{tg⁡}\,x+7\,\mathrm{cotg}\,x+c,\ c\in\mathbb{R} \)
\( -5\cos x-3\,\mathrm{tg}\,x-7\,\mathrm{cotg}⁡\,x+c,\ c\in\mathbb{R} \)
\( 5\cos x+3\,\mathrm{tg}\,x+7\,\mathrm{cotg}\,⁡x+c,\ c\in\mathbb{R} \)

2010005101

Časť: 
A
Vypočítajte na množine \( \mathbb{R} \) nasledujúci integrál. \[ \int\left(2^3+2x^3+\mathrm{e}^x-2^x-2^{\mathrm{e}}\right)\mathrm{d}x \]
\( 8x+0{,}5x^4+\mathrm{e}^x-\frac{2^x}{\ln⁡2} -2^{\mathrm{e}} x+c,\ c\in\mathbb{R} \)
\( -0{,}5x^4+\mathrm{e}^x-\frac{2^x}{\ln⁡2} +c,\ c\in\mathbb{R} \)
\( 8x-2x^4+\mathrm{e}^x-2^x-\frac{2^{\mathrm{e}+1}}{\mathrm{e}+1}+c,\ c\in\mathbb{R} \)
\( 4-6x^4+\mathrm{e}^x -\frac{2^x}{\ln⁡2} -2^\mathrm{e} x+c,\ c\in\mathbb{R} \)

2010005008

Časť: 
A
Sú dané roviny \(\alpha \) a \(\beta\). Určte ich vzájomnú polohu. \[ \begin{aligned}[t] \alpha \colon &x = 1-m+2n, & \\&y =2m-n, \\&z = 2-m+n;\ m,n\in \mathbb{R}, \\ \end{aligned}\qquad \beta \colon x-y-3z+5 = 0 \]
Dané roviny sú totožné.
Dané roviny sú rôznobežné.
Dané roviny sú rovnobežné rôzne.

2010005003

Časť: 
A
Určte hodnotu reálneho parametra \(p\) tak, aby priamky \(a\) a \(b\) boli mimobežné. \[ \begin{aligned}a\colon x& =- 1 + 2m, & \\y & = 1 - pm, \\z & = 2 - m;\ m\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}b\colon x& = 3+2n, & \\y & = 1-n, \\z & = 5+4n;\ n\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(p\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)
\(p = -1\)
Pre žiadne reálne \(p\) nie sú dané priamky mimobežné.
Pre každé reálne \(p\) sú dané priamky mimobežné.

2010005002

Časť: 
A
Určte priesečník priamky \(KL\) a priamky \(q\), prípadne zaškrtnite, že neexistuje. \(K = [1;3;5]\), \(L = [3;-2;4]\) a \[ \begin{aligned}q\colon x& = 1 + r, & \\y & = 5 - 2r, \\z & = 3 - r;\ r\in \mathbb{R}. \\ \end{aligned} \]
\([-3;13;7]\)
\([5;-7;3]\)
\([5;-3;-1]\)
Priesečník daných priamok neexistuje.

2010005001

Časť: 
A
Určte vzájomnú polohu priamok $a$ a $b$, ak: \[\begin{aligned} a\colon x & = 3 -2m, & & \\y & = 4 - 3m, & & \\z & = 4+m;\ m\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\] \[\begin{aligned} b\colon x & = - n, & & \\y & = -5, & & \\z & = 4-3n;\ n\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\]
Dané priamky sú mimobežné.
Dané priamky sú totožné.
Dané priamky sú rôznobežné.
Dané priamky sú rovnobežné rôzne.