2010013210
Časť:
B
Nájdite kvadratickú rovnicu s reálnymi koeficientami, ktorej jeden koreň je
\(x_{1} = -2 + \mathrm{i}\sqrt{2}\).
\(x^{2} + 4x + 6 = 0\)
\(x^{2} - 4x + 6 = 0\)
\(x^{2} + 4x - 6 = 0\)
\(x^{2} - 4x - 6 = 0\)
Kvadratické rovnice v obore komplex. čísel
2010013301
Časť:
B
Určte množinu komplexných koreňov danej rovnice.
\[ x^2 - 2x + 2 = 0 \]
\( \left\{ \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}4\right); \sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{7\pi}4\right) \right\} \)
\( \left\{ 2\left(\cos\frac{\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}4\right); 2\left(\cos\frac{7\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{7\pi}4\right) \right\} \)
\( \left\{ \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}4\right); \sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{3\pi}4\right) \right\} \)
\( \left\{ \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}4\right); \sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{5\pi}4\right) \right\} \)
2010013302
Časť:
B
Nájdite kvadratickú rovnicu s reálnymi koeficientmi, ktorej jeden z koreňov je komplexné číslo \(x_{1} = 1 - 2\sqrt{2}\mathrm{i}\).
\(x^{2} - 2x + 9 = 0\)
\(x^{2} + 2x - 9 = 0\)
\(x^{2} - 2x - 7 = 0\)
\(x^{2} + 9x - 2 = 0\)
2010013303
Časť:
B
Nájdite kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú komplexné čísla
\(x_{1, 2} =\pm 3\mathrm{i}\).
\(x^{2} + 9 = 0\)
\(x^{2} - 9\mathrm{i} = 0\)
\(x^{2} - 9 = 0\)
\(x^{2} + 9\mathrm{i} = 0\)
2010013304
Časť:
B
Určte množinu všetkých hodnôt parametra \(p\in \mathbb{R}\),
pre ktoré má rovnica
\[
x^{2} - 2px + 4 = 0
\]
imaginárne korene, tj. komplexné korene s nenulovou imaginárnou časťou.
\(p\in (-2;2)\)
\(p\in (-\infty ;-2)\)
\(p\in (2;\infty )\)
\(p\in \emptyset\)
2010013305
Časť:
B
Číslo \(\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}
{4} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi}
{4}\right) \)
je koreňom kvadratickej rovnice s reálnymi koeficientami. Nájdite druhý koreň tejto rovnice.
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi}
{4} + \mathrm{i}\sin \frac{5\pi}
{4}\right) \)
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}
{4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi}
{4}\right) \)
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi}
{4} + \mathrm{i}\sin \frac{7\pi}
{4}\right) \)
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}
{4} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi}
{4}\right) \)
2010013306
Časť:
B
Nájdite množinu hodnôt parametra \(p\in \mathbb{R}\), pre ktoré má daná kvadratická rovnica imaginárne korene, tj. komplexné korene s nenulovou imaginárnou časťou.
\[
9px^{2} + 5x + p = 0
\]
\(\left (-\infty ;-\frac{5}
{6}\right )\cup \left (\frac{5}
{6};\infty \right )\)
\(\left (-\frac{5}
{6}; \frac{5}
{6}\right )\)
\(\left (\frac{5}
{6};\infty \right )\)
\(\left \{-\frac{5}
{6}; \frac{5}
{6}\right \}\)
\(\mathbb{R}\setminus \left \{-\frac{5}
{6}; \frac{5}
{6}\right \}\)
2010013307
Časť:
B
Nájdite hodnoty reálnych koeficientov
\(a\),
\(b\) a
\(c\) tak, aby
kvadratická rovnica
\[
ax^{2} + bx + c = 0
\]
mala komplexné korene \(x_{1, 2} = \frac12\pm \mathrm{i}\).
\(a = 4,\ b = -4,\ c = 5\)
\(a = 4,\ b = 4,\ c = 5\)
\(a = 5,\ b = -5,\ c = 4\)
\(a = -4,\ b = 4,\ c = 5\)
2010013310
Časť:
B
Nájdite kvadratickú rovnicu s reálnými koeficientami, ktorej jedno riešenie je komplexné číslo \(x_1=2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + \mathrm{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right)\).
\(x^2+2x+4=0\)
\(x^2-2x+4=0\)
\(x^2+4x+2=0\)
\(x^2+2\sqrt{3}x+4=0\)
2010013311
Časť:
B
Nájdite kvadratickú rovnicu s reálnými koeficientami, ktorej jedno riešenie je komplexné číslo \(x_1=2\left(\cos\frac{11\pi}{6} + \mathrm{i}\sin \frac{11\pi}{6}\right)\).
\(x^2-2\sqrt{3}x+4=0\)
\(x^2+2\sqrt{3}x+4=0\)
\(x^2+4x+2\sqrt{3}=0\)
\(x^2-2x+4=0\)