Sústavy lineárnych rovníc a nerovníc

1003060504

Časť: 
B
Sú dané štyri sústavy rovníc. Koľko z uvedených sústav má nekonečne veľa riešení? \[ \begin{array}{c|c} \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8 \\ -2x+3y-5z&=4 \\ x+y+z&=1 \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ 6x-9y+15z&=12\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)} \\\hline \text{\(\begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ -2x+3y+5z&=4\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} x+y+z&=1 \\ 2x+2y+2z&=2 \\ -\frac x2-\frac y2-\frac z2&=-\frac12 \end{aligned}\)} \end{array} \]
\( 2 \)
\( 1 \)
\( 3 \)
\( 4 \)

1003083004

Časť: 
B
Akú hodnotu musí mať reálny koeficient \( a \), aby nasledujúca sústava rovníc nemala riešenie? \[ \begin{aligned} \frac25x-\frac a4y&=4 \\ -\frac x4 + \frac{5y}8&=\frac52 \end{aligned}\]
\( 4 \)
\( -\frac52 \)
Také reálne číslo \( a \) neexistuje.
\( -4 \)

1103034507

Časť: 
B
Máme nerovnoramenné váhy s nerovnakou dĺžkou ramien. (Také váhy sa nazývajú minciere a využívajú sa napr. v rybárstve pre váženie vylovených rýb.) Na jednej strane vodorovnej tyče (vahadla) je zavesené teleso a niekde na druhej strane je závažie, ktoré sa posúva po dlhšom ramene páky tak dlho, až nastane rovnováha. (Pozri obrázok.) Teleso sa zavesí \( 5\,\mathrm{cm} \) od bodu opory vahadla. Ak má teleso tiaž \( 80\,\mathrm{N} \), dosiahneme rovnováhu, keď posunieme vyrovnávacie závažie až na koniec vahadla. Ak má teleso tiaž \( 60\,\mathrm{N} \), rovnováha nastane, keď závažie bude vzdialené \( 30\,\mathrm{cm} \) od oporného bodu. Aké dlhé je vahadlo? \[ \] Nápoveda: Mincier je založený na princípe páky. Pre vahadlo platí: \( F_1\cdot a=F_2\cdot b \), kde \( F_1 \) je tiaž telesa vo vzdialenosti \( a \) od oporného bodu a \( F_2 \) je tiaž závažia vo vzdialenosti \( b \) od oporného bodu.
\( 45\,\mathrm{cm} \)
\( 54\,\mathrm{cm} \)
\( 40\,\mathrm{cm} \)
\( 35\,\mathrm{cm} \)

2000019001

Časť: 
B
Sú dané štyri matice: \[\] $\left (\array{ 1& -1& 0\cr 2& 0& 1\cr 1& 1& -1} \right ),$ $\left (\array{ 1& -3& 0\cr 2& -5& 1\cr 1& 0& -1} \right ),$ $\left (\array{ -3& -1& 0\cr -5& 0& 1\cr 0& 1& -1} \right ),$ $\left (\array{ 1& -1& -3\cr 2& 0& -5\cr 1& 1& 0} \right )$ \[\] Chceme si precvičiť Cramerovo pravidlo na riešenie sústav lineárnych rovníc. Ktorá z nasledujúcich sústav je riešiteľná pomocou determinantov uvedených štyroch matíc?
\[\begin{aligned} x- y = -3 & & \\2x + z = -5 & & \\x + y -z= 0 & & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} x- y-3z = 0 & & \\2x - 5z = 1 & & \\x + y = -1& & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} -3x- y = 0 & & \\-5x + z = 1 & & \\ y -z= -1& & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} x- y = 3 & & \\2x + z = 5 & & \\x + y -z= 0 & & \end{aligned}\]

2000019002

Časť: 
B
Je daná sústava rovníc: \[\begin{aligned} x- y = -3 & & \\2x + z = -5 & & \\x + y -z= 0 & & \end{aligned}\] Pri jej riešení pomocou Cramerovho pravidla použijeme determinanty štyroch matíc. Usporiadame ich podľa veľkosti. Aký je najväčší z týchto determinantov?
\(8\)
\(4\)
\(-4\)
\(12\)

2000019003

Časť: 
B
Je daná sústava troch lineárnych rovníc s troma neznámymi \(x\), \(y\), \(z\). Stĺpec pravej strany tejto sústavy je: \[ \left (\array{ 5\cr 17\cr 12} \right ) \] Pri riešení tejto sústavy Cramerovým pravidlom boli použité i determinanty matíc: \[ \left (\array{ 2& 5& 1\cr 1& 17& -3\cr 1& 12& -2} \right ),~ \left (\array{ 2& -1& 5\cr 1& 2& 17\cr 1& 1& 12} \right ) \] Ktorá z nasledujúcich sústav bola takto riešená?
\[\begin{aligned} 2x- y +z= 5 & & \\x +2y-3 z = 17 & & \\x + y -2z= 12 & & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 2x+5 y +z= -1 & & \\x +17y-3 z = 2& & \\x +12 y -2z= 1 & & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 2x- y +z= -5 & & \\x +2y-3 z = -17 & & \\ x+y -2z= -12& & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 2x+ y-z = 5 & & \\x-2y + 3z = 17 & & \\x - y +2z= 12 & & \end{aligned}\]

2000019004

Časť: 
B
Je daná sústava rovníc: \[\begin{aligned} 2 x-y +z=5 & & \\x +2y-3z =17& & \\x +y -2z= 12& & \end{aligned}\] Pri jej riešení pomocou Cramerovho pravidla použijeme determinanty štyroch matíc. Aký je súčet všetkých týchto determinantov?
\(-14\)
\(12\)
\(0\)
\(-20\)

2000019005

Časť: 
B
K riešeniu sústavy troch lineárnych rovníc s troma neznámymi je potrebné vypočítať aj determinanty matíc: \[ \left (\array{ 1& -2& 3\cr 2& 1& -7\cr -3& 1& -5} \right ),~ \left (\array{ 1& 3& -1\cr 2& -7& -3\cr -3& -5& 1} \right ). \] Ktorá z uvedených usporiadaných trojíc je riešením tejto sústavy?
\( [2,-2,3]\)
\( [2,2,3]\)
\( [-2,2,3]\)
\( [3,-2,2]\)

2000019006

Časť: 
B
Maticou sústavy troch lineárnych rovníc s troma neznámymi je: \[ \left (\array{ 1& 2& 1\cr 3& -5& 2\cr 1& 0& -3} \right ).~ \] Aký je stĺpec pravej strany, ak je riešením usporiadaná trojica \([−7; 2;−1]\)?
\( \left (\array{ -4\cr -33\cr -4} \right ) \)
\( \left (\array{ -2\cr -33\cr -4} \right ) \)
\( \left (\array{ -4\cr -31\cr -4} \right ) \)
\( \left (\array{ -4\cr -33\cr -10} \right ) \)

2000019007

Časť: 
B
Je daná sústava rovníc: \[\begin{aligned} x+2z= 3 & & \\2x -y+ z = 2& & \\3x -2 y -z= 1 & & \end{aligned}\] Pri jej riešení pomocou Cramerovho pravidla použijeme determinanty štyroch matíc. Aký je ich aritmetický priemer?
\(2 \)
\(3{,}5 \)
\(\frac73 \)
\(\frac83 \)