Geometrie v prostoru

1003164405

Část: 
A
Zjistěte, zda přímka \( p \) s parametrickým vyjádřením: \begin{align*} x&=-2+2t, \\ y&=1+3t, \\ z&=-3+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{align*} protíná některou souřadnicovou osu.
Ano, protíná osu \( y \).
Ano, protíná osu \( x \).
Ano, protíná osu \( z \).
Neprotíná žádnou souřadnicovou osu.

1003164406

Část: 
A
Zjistěte, zda některá z přímek \( p \), \( q \), \( r \) zadaných parametrickými vyjádřeními prochází počátkem souřadné soustavy. \begin{align*} p\colon x&=-2+4t, & q\colon x&=-5-5s, & r\colon x&=3-6u, \\ y&=1-2t, & y&=2-2s, & y&=-\frac12+u, \\ z&=-3+3t;\ t\in\mathbb R & z&=5+5s;\ s\in \mathbb R & z&=2-4u;\ u\in \mathbb R \end{align*}
Ano, je to přímka \( r \).
Ano, je to přímka \( p \).
Ano, je to přímka \( q \).
Žádná z přímek neprochází počátkem.

1003188702

Část: 
A
Jsou dány body \( A=[-2;3;0] \), \( B=[6;1;6] \) a \( C=[1;0;4] \). Určete parametrické vyjádření přímky \( p \), která prochází bodem \( C \) a středem úsečky \( AB \).
$\begin{aligned} p\colon x&=1+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=1+2t, \\ y&=-t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=1-t, \\ y&=2t, \\ z&=4+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=1+2t, \\ y&=t, \\ z&=4+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003188703

Část: 
A
Jsou dány body \( A=[-4;1;4] \) a \( B=[4;-3;0] \). Zjistěte, které z následujících parametrických vyjádření není parametrickým vyjádřením úsečky \( AB \).
$\begin{aligned} AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1+4t, \\ z&=4-4t;\ t\in\langle0;1\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1-4t, \\ z&=4-4t;\ t\in\langle0;1\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} AB\colon x&=4+8t, \\ y&=-3-4t, \\ z&=-4t;\ t\in\langle-1;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} AB\colon x&=-4+2t, \\ y&=1-t, \\ z&=4-t;\ t\in\langle0;4\rangle \end{aligned}$

1003188704

Část: 
A
Jsou dány body \( A=[-4;1;4] \) a \( B=[4;-3;0] \). Zjistěte, které z následujících parametrických vyjádření není vyjádřením polopřímky \( AB \).
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1-4t, \\ z&=4-4t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1-4t, \\ z&=4-4t;\ t\in\langle0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4+2t, \\ y&=1-t, \\ z&=4-t;\ t\in\langle0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4-8t, \\ y&=1+4t, \\ z&=4+4t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$

1003188801

Část: 
A
Jsou dány body \( A=[2;4;0] \), \( B=[4;-1;1] \) a \( C=[0;1;1] \). Z nabízených možností vyberte parametrické rovnice, které vyjadřují rovinu \( \rho \) danou body \( A \), \( B \) a \( C \).
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+2t+2s, \\ y&=-1-t-5s, \\ z&=1+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+4t+2s, \\ y&=-1-2t-5s, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=2t+4s, \\ y&=1-t-2s, \\ z&=1;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=2t-2s, \\ y&=1-5t+5s, \\ z&=1+t-s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003188802

Část: 
A
Určete chybějící souřadnice bodů \( M=[2;m;0] \) a \( N=[0;3;n] \) tak, aby tyto body ležely v rovině \( \rho \) dané parametrickým vyjádřením: \begin{align*} \rho\colon x&=4+2s, \\ y&=-1-2t, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{align*} Vyberte možnost, ve které jsou obě hodnoty \( m \) a \( n \) správně.
\( m=-1 \), \( n=-3 \)
\( m=-1 \), \( n=3 \)
\( m=1 \), \( n=-3 \)
\( m=1 \), \( n=3 \)

1003188803

Část: 
A
Rovina \( \rho \) je určena bodem \( A=[3;1;1] \) a přímkou \( p \) danou parametrickým vyjádřením: \begin{align*} p\colon x&=4+4t, \\ y&=-1-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R} \end{align*} Určete parametrické vyjádření roviny \( \rho \).
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+4t+s, \\ y&=-1-2t-2s, \\ z&=1+t;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+4t+3s, \\ y&=-1-2t+s, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=3+4t+4s, \\ y&=1-2t-s, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=3+4t-4s, \\ y&=1-2t+2s, \\ z&=1+t-s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003188903

Část: 
A
Vyšetřete vzájemnou polohu roviny \( \rho \): \( 2x-y+z-2=0 \) a přímky \( p \) dané parametrickými rovnicemi: \[ \begin{aligned} x&=2-t, \\ y&=5-2t, \\ z&=3;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p \subset \rho \)
\( p\parallel\rho\text{, }p\not{\!\!\subset} \rho \)
\( p \) protíná rovinu \( \rho \)