1003118405
Časť:
C
Vzdialenosť dvoch najvzdialenejších obrazov koreňov binomickej rovnice \( x^6-4\sqrt3+4\mathrm{i} = 0 \), zobrazených v Gaussovej rovine, je:
\( 2\sqrt2 \)
\( \sqrt2 \)
\( 2\sqrt[3]4 \)
\( \sqrt[3]4 \)
\( 2\sqrt3 \)
\( \sqrt3 \)
Mocniny a odmocniny komplexných čísel
1003118406
Časť:
C
Všetky korene rovnice \( x^4+1+\sqrt3\mathrm{i} = 0 \) sú komplexné čísla s argumentami z intervalu \( \langle0; 2\pi) \). Určte súčet argumentov všetkých koreňov rovnice.
\( \frac{13}3\pi \)
\( 4\pi \)
\( \frac{25}6\pi \)
\( \frac92\pi \)
1103118403
Časť:
C
Vyberte obrázok, na ktorom sú čiernymi bodmi zobrazené korene binomickej rovnice: \( x^4+2-2\sqrt3\mathrm{i} = 0 \).
1103118404
Časť:
C
Uvažujte rovnicu $x^n+b=0$, kde $n\in\mathbb{N}^+$ a $b$ je komplexné číslo. Na obrázku sú čiernymi bodmi zobrazené korene binomickej rovnice:
\( x^3 + 4\sqrt2 - 4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 + 4\sqrt2 +4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 - 4\sqrt2 - 4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 - 4\sqrt2 +4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
2000002607
Časť:
C
Ktorá z následujúcich rovníc nemá riešenie \(x=i\)?
\( x^6 -1 =0\)
\( x^6 +1 =0\)
\( x^3 +i =0\)
\( x^5 -i=0\)
2000002610
Časť:
C
Jeden z koreňov rovnice \( x^2-72i=0\) je \(x_1 = 6(1+i)\). Určte chýbajúce riešenie.
\( x_2 = -6(1+i) \)
\( x_2 = 6(1-i) \)
\( x_2 = 6(-1+i) \)
\( x_2 = -6(1-i) \)
2010013403
Časť:
C
Vzdialenosť dvoch najvzdialenejších obrazov koreňov binomickej rovnice \( x^6+3\sqrt5-6\mathrm{i} = 0 \) zobrazených v Gaussovej rovine, je:
\( 2\sqrt[3]3 \)
\( 2\sqrt3 \)
\( \sqrt3 \)
\( \sqrt[3]9\)
\( 2\sqrt[3]9\)
2010013406
Časť:
C
Nájdite množinu všetkých riešení danej rovnice v množine komplexných čísel.
\[
x^{3} + 8\mathrm{i} = 0
\]
\(\left\{2\mathrm{i};\ \sqrt{3} -\mathrm{i};\ -\sqrt{3}-\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ -2\mathrm{i};\ \sqrt{3} -\mathrm{i};\ -\sqrt{3}-\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ -2;\ -\sqrt{3} +\mathrm{i};\ \sqrt{3}+\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ 2;\ -\sqrt{3} +\mathrm{i};\ \sqrt{3}+\mathrm{i}\right\}\)
2010013407
Časť:
C
Dve riešenia rovnice
\[
x^{3} + 1 - \mathrm{i} = 0
\]
sú
\[
\begin{aligned}x_{1}& = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{\pi}
{4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi}
{4} \right ),&
\\x_{2}& = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{11}
{12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{11}
{12}\pi \right ).
\\ \end{aligned}
\]
Nájdite tretie riešenie.
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{19}
{12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{19}
{12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{7}
{12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{7}
{12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{5}
{12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5}
{12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{13}
{12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{13}
{12}\pi \right )\)
2010013408
Časť:
C
Tri riešenia rovnice
\[
x^{4} - 2\mathrm{i} = 0
\]
sú
\[\begin{aligned}x_{1} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{1}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{1}{8}\pi \right ),\\ x_{2} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{5}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5}{8}\pi \right ),\\ x_{3} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{9}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{9}{8}\pi \right ).\\ \end{aligned}\]
Nájdite štvrté riešenie.
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{13}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{13}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{11}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{11}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{15}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{15}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{3}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{3}{8}\pi \right )\)