Funciones primitivas

2010000301

Parte: 
B
Evalúa la siguiente integral en el intervalo \(\left(0;\frac{\pi}2\right)\). \[ \int \frac{\cos 2x} {\cos ^{2}x}\, \mathrm{d}x \]
\(2x -\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x + c,\ c\in \mathbb{R}\)
\(\frac{\sin 2x} {\frac{1} {3} \sin ^{3}x} + c,\ c\in \mathbb{R}\)
\(2x +\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits x + c,\ c\in \mathbb{R}\)

1003107809

Parte: 
B
Resuelve la integral indefinida $\int\frac{8x^7-30x^5}{x^8-5x^6+2}\,\mathrm{d}x$ en $(3;\infty)$.
$\ln\left|x^8-5x^6+2\right|+c$, $c\in\mathbb{R}$
$\ln\left|8x^7-30x^5+2x\right|+c$, $c\in\mathbb{R}$
$\log\left|x^8-5x^6+2\right|+c$, $c\in\mathbb{R}$
$\log\left|8x^7-30x^5+2x\right|+c$, $c\in\mathbb{R}$

1003107807

Parte: 
A
Encuentra la función $F(x)$, que es primitiva de la función $f(x)=2^x\cdot\ln⁡2+4^x\cdot2\ln⁡2+8^x\cdot3\ln⁡2$ en $\mathbb{R}$, y cumpla la condición $F(0)=5$.
$F(x)=2^x+4^x+8^x+2$
$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+\frac{4^x}{\ln 4}+\frac{8^x}{\ln 8}+2x$
$F(x)=2^x+4^x+8^x+5$
$F(x)=2^x\cdot\ln2+2^{x+1}\cdot\ln2+2^{x+3}\cdot\ln2+5$

1003107806

Parte: 
A
Define la función $f(x)$ para que valga lo siguiente: $f''(x)=\mathrm{e}^x+x^5$ on $\mathbb{R}$, $f(0)=1$, y $f(1)=\frac{43}{42}$.
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+(1-\mathrm{e})x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+(-\mathrm{e}-1)x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{7}{6}x^7+x-\mathrm{e}x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+\frac{43}{42}$

1003107805

Parte: 
A
Define la función $f(x)$ para que valga: $f'(x)=x^5-\sqrt[4]x$ on $(0;\infty)$, $f(1)=-1$.
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac45x\sqrt[4]x-\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac45\sqrt[4]{x^5}+\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac54x\sqrt[4]x-\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac54x\sqrt[4]x+\frac{11}{30}$

1003107804

Parte: 
B
Cuatro chicas evaluaron la integral $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x$ en $\mathbb{R}$. Ana empezó a integrar por partes de esta manera: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=\sin^2⁡x-\int\cos x\cdot\sin x\,\mathrm{d}x$. Beatriz empezó a integrar por partes de esta manera: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=-\cos^2 x-\int\sin x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x$. Clara usó la sustitución $a=\sin ⁡x$ de la manera siguiente: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=\int a\,\mathrm{d}a$. Diana integró $\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=-\cos x\cdot\sin⁡ x+c$, $c\in\mathbb{R}$. ¿Cuál de las cuatro chicas cometió un error?
Diana
Ana
Beatriz
Clara