C

9000036106

Část: 
C
Dvě přímé cesty vycházejí z rozcestníku \(R\) a svírají úhel \(52^{\circ }18'\). Na jedné z těchto cest ve vzdálenosti \(250\, \mathrm{m}\) od rozcestníku \(R\) je místo \(A\), na druhé ve vzdálenosti \(380\, \mathrm{m}\) od rozcestníku \(R\) je místo \(B\). Vypočítejte vzdálenost míst \(A\) a \(B\) (tzn. délku úsečky \(AB\)). Výsledek zaokrouhlete na celé metry.
\(301\, \mathrm{m}\)
\(411\, \mathrm{m}\)
\(568\, \mathrm{m}\)
\(629\, \mathrm{m}\)

9000035609

Část: 
C
Rovnice \(x^{2} + px - 11 = 0\) má jeden kořen \(x_{1} = 3 -\mathrm{i}\sqrt{2}\). Najděte druhý kořen \(x_{2}\) a koeficient \(p\in \mathbb{C}\).
\(x_{2} = -3 -\mathrm{i}\sqrt{2},\ p = 2\mathrm{i}\sqrt{2}\)
\(x_{2} = 3 + \mathrm{i}\sqrt{2},\ p = 6\)
\(x_{2} = -3 -\mathrm{i}\sqrt{2},\ p = 6\)
\(x_{2} = 3 + \mathrm{i}\sqrt{2},\ p = -2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -3 -\mathrm{i}\sqrt{2},\ p = -2\mathrm{i}\sqrt{2}\)

9000035810

Část: 
C
Je dáno komplexní číslo \(z = -2 + 2\mathrm{i}\). Všechny navzájem různé hodnoty \(\root{3}\of{z}\) jsou:
\(\begin{aligned}[t] &w_{0} = \root{6}\of{8}\left (\cos \frac{\pi } {4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi } {4}\right ) & \\&w_{1} = \root{6}\of{8}\left (\cos \frac{11\pi } {12} + \mathrm{i}\sin \frac{11\pi } {12}\right ) \\&w_{2} = \root{6}\of{8}\left (\cos \frac{19\pi } {12} + \mathrm{i}\sin \frac{19\pi } {12}\right ) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] &w_{0} = 2\left (\cos \frac{\pi } {4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi } {4}\right ) & \\&w_{1} = 2\left (\cos \frac{11\pi } {12} + \mathrm{i}\sin \frac{11\pi } {12}\right ) \\&w_{2} = 2\left (\cos \frac{19\pi } {12} + \mathrm{i}\sin \frac{19\pi } {12}\right ) \\ \end{aligned}\)
\(\root{3}\of{-2} + \root{3}\of{2}\)
\(\begin{aligned}[t] &w_{0} = 2\left (\cos \frac{\pi } {3} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi } {3}\right )& \\&w_{1} = 2\left (\cos \pi +\mathrm{i}\sin \pi \right ) \\&w_{2} = 2\left (\cos \frac{5\pi } {3} + \mathrm{i}\sin \frac{5\pi } {3}\right ) \\ \end{aligned}\)

9000034303

Část: 
C
Množinou všech komplexních řešení rovnice \(x^{3} + \mathrm{i} = 0\) je:
\(\{\mathrm{i};\ \frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i};\ -\frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i}\}\)
\(\{ - 1;\ -\frac{\sqrt{3}} {2} + \frac{1} {2}\mathrm{i};\ -\frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i}\}\)
\(\{ - 1;\ \frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i};\ -\frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i}\}\)
\(\{\mathrm{i};\ -\frac{\sqrt{3}} {2} + \frac{1} {2}\mathrm{i};\ -\frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i}\}\)

9000034308

Část: 
C
Dvě z řešení rovnice \[x^{3} + 1 + \mathrm{i} = 0\] jsou \[ x_{1} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{5} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5} {12}\pi \right ), \] \[ x_{2} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{13} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{13} {12}\pi \right ). \] Třetím řešení rovnice je:
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{21} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{21} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{9} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{9} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{17} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{17} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{19} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{19} {12}\pi \right )\)