A

1003261908

Část: 
A
Určete všechny hodnoty \( t \), \( t\in\mathbb{R} \), pro něž má funkce \[ f(x)=tx^3+(t+1)x^2-(t-2)x+3 \] lokální extrémy.
\( t\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac12\right\} \)
\( t\in\mathbb{R} \)
\( t\in\left(-\frac12;\frac12\right) \)
\( t\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac12;\infty\right) \)

1003261907

Část: 
A
Určete hodnoty \( m \), \( n\in\mathbb{R} \) tak, aby funkce \[ f(x)=x^4+mx^3-n+2 \] měla lokální minimum v bodě \( x=3 \) a jeho hodnota byla \( -30 \).
\( m=-4 \), \( n=5 \)
\( m = 4 \) \( n=5 \)
\( m=4 \), \( n=140 \)
\( m=-4 \), \( n=-5 \)

1003261906

Část: 
A
Určete hodnoty \( a \), \( b \in\mathbb{R} \) tak, aby funkce \[ f(x)=ax^3+bx^2+1 \] měla lokální extrém v bodě \( x=-2 \) a jeho hodnota byla \( 9 \).
\( a=2 \), \( b=6 \)
\( a=-2 \), \( b = 6 \)
\( a=-2 \), \( b = -6 \)
\( a=2 \), \( b = -6 \)

1003261905

Část: 
A
Najděte lokální extrémy funkce \[ f(x)=x-\ln⁡(1+x)\text{ .} \]
lokální minimum v bodě \( x=0 \)
lokální minimum v bodě \( x=0 \), lokální maximum v bodě \( x=-1 \)
lokální maximum v bodě \( x=0 \)
lokální maximum v bodě \( x=0 \), lokální minimum v bodě \( x=-1 \)
neexistují

1003061208

Část: 
A
Je dána přímka \( q=\left\{[1+3t;2-2t]\text{, }t\in\mathbb{R}\right\} \). Určete hodnotu parametru \( a \) tak, aby přímka daná rovnicí \( 5x+ay+1=0 \) byla rovnoběžná s přímkou \( q \).
\( a=7{,}5 \)
\( a=2{,}5 \)
\( a=-7{,}5 \)
\( a=-2{,}5 \)

1103061207

Část: 
A
Je dána přímka \( m= \left\{[3-t;t]\text{, } t\in\mathbb{R} \right\} \), která protíná přímky \( a \), \( b \), \( c \) po řadě v bodech \( A \), \( B \), \( C \) (viz obrázek). Určete hodnoty parametru \( t \) odpovídající těmto průsečíkům.
\( t_A=1; t_B=\frac32;\ t_C=2 \)
\( t_A=-1; t_B=-2;\ t_C=-3 \)
\( t_A=2; t_B=\frac32;\ t_C=1 \)
\( t_A=2; t_B=\frac52;\ t_C=3 \)

1103061205

Část: 
A
Z uvedených možností vyberte rovnici přímky, která prochází daným bodem \( K \) a není kolmá k dané přímce \( m \) (viz obrázek).
\( r\colon y=\frac23x-\frac{13}3 \)
\( p\colon 3x+2y-13=0 \)
\( s\colon y=-\frac32x+\frac{13}2 \)
$\begin{aligned} q\colon x&=5+2t, \\ y&=-1-3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1103061204

Část: 
A
Z uvedených možností vyberte rovnici přímky, která prochází bodem \( K \) a není rovnoběžná s danou přímkou \( m \) (viz obrázek).
\( g\colon y=-\frac32x+\frac{13}2 \)
\( b\colon 2x-3y-13=0 \)
\( f\colon y=\frac23x-\frac{13}3 \)
$\begin{aligned} q\colon x&=5+3t, \\ y&=-1+2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1103061203

Část: 
A
Přímka \( p \) je dána bodem \( A \) a směrovým úhlem \( \varphi \) (viz obrázek). Vyberte rovnici přímky \( p \) ve směrnicovém tvaru.
\( p\colon y=-\sqrt3x+3 \)
\( p\colon y=\sqrt3x+3 \)
\( p\colon y=1{,}7x+3 \)
\( p\colon y=-1{,}7x+3 \)