Mocniny a odmocniny komplexních čísel

2010013403

Část: 
C
Všechna řešení rovnice \( x^6+3\sqrt5-6\mathrm{i} = 0 \) mohou být zobrazena v pravúhlém souřadnicovém systému. Jaká je vzdálenost nejvzdálenějších bodů?
\( 2\sqrt[3]3 \)
\( 2\sqrt3 \)
\( \sqrt3 \)
\( \sqrt[3]9\)
\( 2\sqrt[3]9\)

2010013402

Část: 
B
Určete množinu komplexních kořenů dané rovnice. (Použijte substituci.) \[ (3x + 2)^4 - 81 = 0 \]
\( \left\{-\frac53;\frac13;-\frac23+\mathrm{i} ;-\frac23-\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{-\frac53;\frac13;\frac23+\mathrm{i} ;\frac23-\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{\frac53;-\frac13;-\frac23+\mathrm{i} ;-\frac23-\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{\frac53;-\frac13;\frac23+\mathrm{i} ;\frac23-\mathrm{i} \right\} \)

2010004617

Část: 
A
Vypočtěte komplexní číslo \(z\), je-li hodnota agrumentu \(z^5\) rovna \(300^{\circ}\) a \(|z|^5=\frac1{32}\).
\( z=\frac{1}{4}(1+\mathrm{i}\sqrt{3})\)
\( z=\frac{1}{4}(1-\mathrm{i}\sqrt{3})\)
\( z=-\frac{1}{2}\mathrm{i}\)
\( z=\frac{1}{2}(\cos 60^{\circ} - \mathrm{i} \sin 60^{\circ})\)

2010004616

Část: 
A
Vypočtěte komplexní číslo \(z\), je-li hodnota argumentu \(z^6\) rovna \(270^{\circ}\) a \(|z|^6=27\).
\( z=\frac{\sqrt{6}}{2}(1+\mathrm{i})\)
\( z=\frac{\sqrt{6}}{2}(1-\mathrm{i})\)
\( z=\sqrt{3}\mathrm{i}\)
\( z=3(\cos 45^{\circ} + \mathrm{i} \sin 45^{\circ})\)

2010004613

Část: 
A
Vypočtěte absolutní hodnotu a hodnotu argumentu komplexního čísla \( z=(2+\mathrm{i}\sqrt{12})^5\).
\( |z|=1024\); \(\varphi = \frac{5}{3}\pi\)
\( |z|=512\); \(\varphi = \frac{5}{3}\pi\)
\( |z|=1024\); \(\varphi = \frac{\pi}{3}\)
\( |z|=4\); \(\varphi = \frac{5}{3}\pi\)

2010004612

Část: 
A
Vypočtěte absolutní hodnotu a hodnotu argumentu komplexního čísla \( z=(1-\mathrm{i}\sqrt{3})^4\).
\( |z|=16\); \(\varphi = \frac{2}{3}\pi\)
\( |z|=8\); \(\varphi = \frac{\pi}{3}\)
\( |z|=256\); \(\varphi = \frac{2}{3}\pi\)
\( |z|=2\); \(\varphi = \frac{2}{3}\pi\)