Mocniny a odmocniny komplexných čísel

1003118406

Časť: 
C
Všetky korene rovnice \( x^4+1+\sqrt3\mathrm{i} = 0 \) sú komplexné čísla s argumentami z intervalu \( \langle0; 2\pi) \). Určte súčet argumentov všetkých koreňov rovnice.
\( \frac{13}3\pi \)
\( 4\pi \)
\( \frac{25}6\pi \)
\( \frac92\pi \)

1103118404

Časť: 
C
Uvažujte rovnicu $x^n+b=0$, kde $n\in\mathbb{N}^+$ a $b$ je komplexné číslo. Na obrázku sú čiernymi bodmi zobrazené korene binomickej rovnice:
\( x^3 + 4\sqrt2 - 4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 + 4\sqrt2 +4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 - 4\sqrt2 - 4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 - 4\sqrt2 +4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)

1003118402

Časť: 
C
Koreňom binomickej rovnice \( x^6 + 8\mathrm{i} = 0 \) nie je:
\( 1-\mathrm{i} \)
\( 1+\mathrm{i} \)
\( -1-\mathrm{i} \)
\( \sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}{12}+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{7\pi}{12}\right) \)
\( \sqrt2\left(\cos\frac{23\pi}{12}+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{23\pi}{12}\right) \)

1003118401

Časť: 
C
Množina komplexných koreňov binomickej rovnice \( x^3 - 8\mathrm{i} = 0 \) je:
\( \left\{\sqrt3+\mathrm{i}; -\sqrt3+\mathrm{i};-2\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{ 2\mathrm{i}; -\sqrt3-\mathrm{i}; \sqrt3-\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{\frac{\sqrt3}2+\frac12\mathrm{i}; -\frac{\sqrt3}2+\frac12\mathrm{i};-\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{\mathrm{i};-\frac{\sqrt3}2-\frac12\mathrm{i}; \frac{\sqrt3}2-\frac12\mathrm{i} \right\} \)

1003123402

Časť: 
A
Dané je komplexné číslo \( b=\sqrt[3]2\cdot\left(\cos\frac56\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac56\pi\right) \). Určte goniometrický tvar komplexného čísla \( b^9 \).
\( 8\cdot\left(\cos\frac32\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac32\pi\right) \)
\( 64\cdot\left(\cos\frac12\pi-\mathrm{i}\cdot\sin\frac12\pi\right) \)
\( 8\cdot\left(\cos\frac12\pi-\mathrm{i}\cdot\sin\frac12\pi\right) \)
\( 64\cdot\left(\cos\frac32\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac32\pi\right) \)

1003123401

Časť: 
A
Dané je komplexné číslo \( a =\sqrt3\cdot\left( \cos 225^{\circ} + \mathrm{i}\cdot\sin 225^{\circ}\right) \). Určte goniometrický tvar komplexného čísla \( a^6 \).
\( 27\cdot\left(\cos270^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin270^{\circ}\right) \)
\( 9\cdot\left(\cos90^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin90^{\circ}\right) \)
\( 27\cdot\left(\cos90^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin90^{\circ}\right) \)
\( 9\cdot\left(\cos270^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin270^{\circ}\right) \)

1003109305

Časť: 
B
Nájdite množinu komplexných koreňov binomickej rovnice \[ (2x + 3)^4 - 256 = 0. \] (Riešte pomocou substitúcie.)
\( \left\{-\frac72;\frac12;-\frac32\pm2\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{-\frac72;\frac12;\frac32\pm2\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{\frac72;-\frac12;\frac32\pm2\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{\frac72;-\frac12;-\frac32\pm2\mathrm{i} \right\} \)