C

1003083108

Część: 
C
Parabole funkcji \( f \) i \( g \) mają ten sam wierzchołek \( V \) i \( f(x)=ax^2+c \), gdzie \( a \) i \( c \) są niezerowymi liczbami rzeczywistymi. Wyznacz \( g(x) \) wykresy funkcji \( f \) i \( g \) są symetryczne względem wierzchołka \( V \) a oś \( y \) jest ich linią symetrii.
\( g(x)=-ax^2+c\), tzn. wzory funkcji \( f \) i \( g \) różnią się znakiem współczynnika tylko w stosunku kwadratowym
\( g(x)=ax^2-c\), tzn. wzory funkcji \( f \) i \( g \) różnią się znakiem współczynnika tylko w stosunku liniowym
\( g(x)=-ax^2-c \), tj. \( g(x)=-f(x) \)
Żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.

1003109404

Część: 
C
Jednym z pierwiastków równania kwadratowego \( x^2 + px + 1 - 3\,\mathrm{i} = 0 \) o parametrze zespolonym \( p \) to \( x_1 = -\mathrm{i} \). Równanie można zapisać w postaci:
\( (x + \mathrm{i})(x -3 - \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x + \mathrm{i})(x - 3 +\mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x- 3-\mathrm{i}) = 0 \)
\( (x +\mathrm{i})(x + 3 + \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x- 3 + \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x + 3 +\mathrm{i}) = 0 \)

1003109403

Część: 
C
Wyznacz równianie o rozwiązaniach \( x_1=\frac12-\mathrm{i} \) i \( x_2=-\frac12+2\,\mathrm{i} \).
\( 4x^2-4\,\mathrm{i}\,x+7+6\,\mathrm{i}=0 \)
\( 4x^2-4\,\mathrm{i}\,x-9+3\,\mathrm{i}=0 \)
\( 4x^2+4\,\mathrm{i}\,x+7+6\,\mathrm{i}\,=0 \)
\( 4x^2+4\,\mathrm{i}\,x-9+3\,\mathrm{i}=0 \)

1003109402

Część: 
C
Wybierz równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są \( x_1 = 1 +\mathrm{i} \) i \( x_2 = (1 +\mathrm{i})^2 \).
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x - 2 + 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x - 2 - 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x + 2 + 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x + 2 - 2\,\mathrm{i} = 0 \)

1003109401

Część: 
C
Wybierz równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są \( x_1 = 2 + \mathrm{i} \) i \( x_2 = 1 - 3\,\mathrm{i} \).
\( x^2 - (3 - 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\(x^2 + (3- 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (3 + 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 + (3 + 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)

1003082308

Część: 
C
Niech \( [x;y]\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} \). Wyznacz wszystkie \( [x;y] \), które spełniają \[ x(8 + 4\,\mathrm{i}) + y(1 - 4\,\mathrm{i}) + 5 = x(3 +\mathrm{i}) + 6(y - 2\,\mathrm{i}) + 9\,\mathrm{i}. \]
Brak \( [x;y] \). (Brak rozwiązania.)
\( [1;0] \)
\( [0;1] \)
\( [-1; 0] \)
\( [0;-1] \)

1003082307

Część: 
C
Niech \( z_1 = x^2 + 9y\,\mathrm{i}-20\,\mathrm{i} \) i \( z_2 = 7x-12+ y^2\,\mathrm{i} \). Wskaż wszystkie \( [x;y] \in \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) tak, aby \( z_1= z_2 \).
\( [x;y]\in\left\{[3;4], [3;5], [4;4], [4;5]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[4;3], [4;4], [5;3], [5;4]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[-3;-4], [-3;-5], [-4;-4], [-4;-5]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[-4;-3], [-4;-4], [-5;-3], [-5;-4]\right\} \)

1003082306

Część: 
C
Niech \( [x;y]\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} \). Wskaż wszystkie \( [x;y] \), które spełniają \[ (3x + 2y\,\mathrm{i})\cdot(3x - 2y\,\mathrm{i}) + y^2\,\mathrm{i} = 97 + 4\,\mathrm{i}. \]
\( [x;y]\in\left\{[3;2], [-3;2], [3;-2], [-3;-2]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[3;2], [-3;2]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[3;2], [3;-2]\right\}\)
\( [x;y]\in\left\{[3;2], [-3;-2]\right\} \)

1003107605

Część: 
C
Oblicz całkę na przedziale \( (0;\infty) \). \[ \int\frac{7x+2}{15x^2+3x}\mathrm{d}x \]
\( \frac23\ln⁡ x-\frac15\ln\left(x+\frac15\right)+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[5]{x+1}}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \frac23\ln x-\ln(5x+1)+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\(\ln\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[5]{x+5}}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)