Kuželosečky

9000123103

Část: 
C
Je dána elipsa \(5x^{2} + 9y^{2} = 45\) a její tečna \(2x + 3y = 9\). Určete všechny hodnoty parametru \(k\in \mathbb{R}\) tak, aby přímka \(y = kx + 3\) byla sečnou zadané elipsy.
\(k\in \left (-\infty ;-\frac{2} {3}\right )\cup \left (\frac{2} {3};\infty \right )\)
\(k\in \left \langle -\frac{2} {3}; \frac{2} {3}\right \rangle \)
\(k\in \left (-\frac{2} {3}; \frac{2} {3}\right )\)
\(k\in \left (-\infty ;-\frac{2} {3}\right \rangle \cup \left \langle \frac{2} {3};\infty \right )\)

9000123107

Část: 
C
Která z uvedených přímek má s hyperbolou \(x^{2} - y^{2} = 5\) právě jeden společný bod a přitom není její tečna?
\(p\colon \frac{x} {5} + \frac{y} {5} = 1\)
\(p\colon y = 5x\)
\(p\colon 2x + y = 5\)
\(\begin{aligned}p\colon x& = 1; & \\y & = -1 + t\text{, }t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000120007

Část: 
B
Ve městě je několik míst, která jsou stejně vzdálená od řeky i od městské radnice. Vyberte křivku, kterou se dají všechna tato místa na mapě propojit za předpokladu, že tok řeky je na mapě města a jeho okolí zobrazen přímkou a radnice bodem.
Parabola
Kružnice
Elipsa
Hyperbola
Žádnou z výše uvedených kuželoseček nelze zmíněná místa propojit.

9000117704

Část: 
C
Z nabídnutých možností vyberte tu dvojici fyzikálních veličin, jejichž graficky vyjádřená závislost tvoří část hyperboly. (Zbývající veličiny ve vztazích považujeme za konstantní).
Tlak (\(p\)) a plocha (\(S\)), na kterou působí tlaková síla, je-li \(F = p\cdot S\).
Hmotnost (\(m\)) a kinetická energie (\(E_{k}\)) tělesa, je-li \(E_{k} = \frac{1} {2}\cdot m\cdot v^{2}\).
Rychlost (\(v\)) a kinetická energie (\(E_{k}\)) tělesa, je-li \(E_{k} = \frac{1} {2}\cdot m\cdot v^{2}\).
Hmotnost (\(m\)) a polohová energie (\(E_{p}\)), je-li \(E_{p} = mgh\).

9000117705

Část: 
C
Z nabídnutých možností vyberte tu dvojici fyzikálních veličin, jejichž graficky vyjádřená závislost tvoří část paraboly. (Zbývající veličiny ve vztahu považujeme za konstantní).
Práce elektrických sil (\(W\)) a velikost elektrického proudu (\(I\)), je-li \(W = R\cdot I^{2}\cdot t\).
Hmotnost (\(m\)) a zrychlení (\(a\)) tělesa, je-li \(F = m\cdot a\).
Výška nad podložkou (\(h\)) a polohová energie (\(E_{p}\)), je-li \(E_{p} = mgh\).
Práce elektrických sil (\(W\)) a doba (\(t\)), po kterou protéká proud, je-li \(W = R\cdot I^{2}\cdot t\).

9000117706

Část: 
C
Pro pohyb těles (družic) v blízkém okolí Země je důležitá tzv. kruhová rychlost. Tělesa s touto rychlostí se pohybují po kruhové trajektorii, přičemž Země je ve středu této trajektorie. V blízkosti povrchu Země se této rychlosti říká „1. kosmická rychlost” a její hodnota je \(7{,}9\, \mathrm{km}/\mathrm{s}\). Hodnotu kruhové rychlosti ve výšce \(h\) nad zemským povrchem určuje vztah: \(v = \sqrt{ \frac{\kappa \cdot M_{Z } } {R_{Z}+h}}\), kde \(M_{Z}\) je hmotnost Země, \(R_{Z}\) je poloměr Země a \(\kappa \) je gravitační konstanta. Vyberte správnou rovnici kruhové trajektorie družice, která se v okamžiku startu nachází ve výšce \(h\) nad zemským povrchem v soustavě, kde osa \(y\) spojuje střed Země s místem startu družice a počátek soustavy je na povrchu Země.
\(x^{2} + (y + R_{Z})^{2} = (R_{Z} + h)^{2}\)
\(x^{2} + y^{2} = (R_{Z} + h)^{2}\)
\(x^{2} + (y + R_{Z})^{2} = h^{2}\)
\(x^{2} + y^{2} = h^{2}\)

9000120005

Část: 
B
Pro organizaci celotáborové hry je důležité, aby vzdušná vzdálenost kuchyň - stan - ohniště byla pro všechny stany stejná. Lze z této informace odvodit, že stany leží na jedné kuželosečce? Pokud ano, tak na které?
Ano, stany leží na elipse.
Ano, stany leží na kružnici.
Ano, stany leží na parabole.
Ano, stany leží na hyperbole.
Ne, z této informace nelze odvodit, že by stany ležely na nějaké konkrétní kuželosečce.

9000117701

Část: 
C
Těleso vržené šikmo vzhůru pod úhlem \(\alpha = 30^{\circ }\) počáteční rychlostí o velikosti \(v_{0} = 20\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\) opisuje při svém pohybu část paraboly. Určete rovnici řídící přímky této paraboly. (Okamžitá poloha šikmo vzhůru vrženého tělesa je v homogenním gravitačním poli Země popsána rovnicemi: \(x = v_{0}t\cdot \cos \alpha \), \(y = v_{0}t\cdot \sin \alpha -\frac{1} {2}gt^{2}\). Tíhové zrychlení zaokrouhlete na hodnotu \(g = 10\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\)).
\(y = 20\)
\(y = 5\)
\(y = 15\)
\(y = 10\)