Kuželosečky

9000123108

Část: 
C
Všechny tečny hyperboly \(x^{2} - 2y^{2} = 8\), jejichž odchylka s osou \(x\) je rovna \(45^{\circ}\), mají rovnice:
\(y = x + 2\text{, }y = x - 2\text{, }y = -x + 2\text{, }y = -x - 2\)
\(y = x + 2\text{, }y = x - 2\)
\(y = x + 2\text{, }y = -x + 2\)
\(y = x + 2\)

9000123107

Část: 
C
Která z uvedených přímek má s hyperbolou \(x^{2} - y^{2} = 5\) právě jeden společný bod a přitom není její tečna?
\(p\colon \frac{x} {5} + \frac{y} {5} = 1\)
\(p\colon y = 5x\)
\(p\colon 2x + y = 5\)
\(\begin{aligned}p\colon x& = 1; & \\y & = -1 + t\text{, }t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000123103

Část: 
C
Je dána elipsa \(5x^{2} + 9y^{2} = 45\) a její tečna \(2x + 3y = 9\). Určete všechny hodnoty parametru \(k\in \mathbb{R}\) tak, aby přímka \(y = kx + 3\) byla sečnou zadané elipsy.
\(k\in \left (-\infty ;-\frac{2} {3}\right )\cup \left (\frac{2} {3};\infty \right )\)
\(k\in \left \langle -\frac{2} {3}; \frac{2} {3}\right \rangle \)
\(k\in \left (-\frac{2} {3}; \frac{2} {3}\right )\)
\(k\in \left (-\infty ;-\frac{2} {3}\right \rangle \cup \left \langle \frac{2} {3};\infty \right )\)

9000117701

Část: 
C
Těleso vržené šikmo vzhůru pod úhlem \(\alpha = 30^{\circ }\) počáteční rychlostí o velikosti \(v_{0} = 20\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\) opisuje při svém pohybu část paraboly. Určete rovnici řídící přímky této paraboly. (Okamžitá poloha šikmo vzhůru vrženého tělesa je v homogenním gravitačním poli Země popsána rovnicemi: \(x = v_{0}t\cdot \cos \alpha \), \(y = v_{0}t\cdot \sin \alpha -\frac{1} {2}gt^{2}\). Tíhové zrychlení zaokrouhlete na hodnotu \(g = 10\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\)).
\(y = 20\)
\(y = 5\)
\(y = 15\)
\(y = 10\)

9000117702

Část: 
C
Země se pohybuje kolem Slunce po eliptické trajektorii, přičemž Slunce je v ohnisku této elipsy. Jaká je velikost vedlejší poloosy, jestliže víme, že maximální vzdálenost Země od Slunce (tzv. afélium) je \(152{,}1\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\) a minimální vzdálenost Země od Slunce (tzv. perihélium) je \(147{,}1\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\). (Výsledek zaokrouhlete na desetitisíce km.)
\(149{,}58\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\)
\(2{,}58\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\)
\(299{,}21\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\)
\(149{,}61\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\)

9000117703

Část: 
C
Tzv. „izotermický děj” s ideálním plynem můžeme popsat rovnicí \(pV = \mathrm{konst.}\), kde \(p\) je tlak ideálního plynu, \(V \) je jeho objem. Graf funkční závislosti tlaku ideálního plynu stálé hmotnosti na jeho objemu při konstantní teplotě se nazývá izoterma. Izoterma je část hyperboly. Je-li to na základě výše uvedených informací možné, napište rovnice asymptot této hyperboly. V opačném případě označte, že asymptoty nelze určit.
\(p = 0,\ V = 0\)
\(p = V,\ p = -V \)
\(p = 0,\ p = V \)
Rovnice asymptot jsou závislé na číselném určení „konstanty”, takže asymptoty není možné určit rovnicemi.