Je dána elipsa \(5x^{2} + 9y^{2} = 45\) a její
tečna \(2x + 3y = 9\). Určete všechny
hodnoty parametru \(k\in \mathbb{R}\)
tak, aby přímka \(y = kx + 3\)
byla sečnou zadané elipsy.
Těleso vržené šikmo vzhůru pod úhlem
\(\alpha = 30^{\circ }\) počáteční
rychlostí o velikosti \(v_{0} = 20\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)
opisuje při svém pohybu část paraboly. Určete rovnici řídící
přímky této paraboly. (Okamžitá poloha šikmo vzhůru vrženého
tělesa je v homogenním gravitačním poli Země popsána rovnicemi:
\(x = v_{0}t\cdot \cos \alpha \),
\(y = v_{0}t\cdot \sin \alpha -\frac{1}
{2}gt^{2}\). Tíhové zrychlení
zaokrouhlete na hodnotu \(g = 10\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\)).
Země se pohybuje kolem Slunce po eliptické trajektorii, přičemž Slunce
je v ohnisku této elipsy. Jaká je velikost vedlejší poloosy, jestliže
víme, že maximální vzdálenost Země od Slunce (tzv. afélium) je
\(152{,}1\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\)
a minimální vzdálenost Země od Slunce (tzv. perihélium) je
\(147{,}1\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\).
(Výsledek zaokrouhlete na desetitisíce km.)
Tzv. „izotermický děj” s ideálním plynem můžeme popsat rovnicí
\(pV = \mathrm{konst.}\), kde
\(p\) je tlak ideálního
plynu, \(V \) je
jeho objem. Graf funkční závislosti tlaku ideálního plynu stálé hmotnosti
na jeho objemu při konstantní teplotě se nazývá izoterma. Izoterma je část
hyperboly. Je-li to na základě výše uvedených informací možné, napište
rovnice asymptot této hyperboly. V opačném případě označte, že
asymptoty nelze určit.
\(p = 0,\ V = 0\)
\(p = V,\ p = -V \)
\(p = 0,\ p = V \)
Rovnice asymptot jsou závislé na číselném
určení „konstanty”, takže asymptoty není možné
určit rovnicemi.