Soustavy lineárních rovnic a nerovnic

1003034503

Část: 
B
Studenti se hlásili na sportovní kurz. Cyklistický kurz si vybralo o \( 18 \) studentů více, než vodácký. Po nějaké době jeden student převedl přihlášku z vodáckého kurzu na cyklistický. Nyní je cyklistů dvakrát více, než vodáků. Kolik studentů se původně hlásilo na vodácký kurz?
\( 21 \)
\( 39 \)
\( 20 \)
\( 15 \)

1003034502

Část: 
C
Petr by si rád koupil nový mobil. Pokud by nastoupil na brigádu k prodejci elektro, dostal by odměnu \( 120\,\mathrm{CZK} \) za odpracovanou hodinu a \( 20\% \) slevu na mobil, který by si v této prodejně koupil. Spočítal si, že za \( 24 \) odpracovaných hodin by si nevydělal ani polovinu potřebných peněz. Jiný zaměstnavatel platí \( 150\,\mathrm{CZK} \) za hodinu. Pokud by Petr nastoupil na brigádu u něj, slevu u prodejce elektro by nedostal, ale mohl by si mobil koupit v e-shopu, v němž se prodává o \( 600\,\mathrm{CZK} \) levněji než u prodejce elektro. Za \( 20 \) hodin by si vydělal více než třetinu peněz potřebných ke koupi mobilu v e-shopu. Kolik mohl stát mobil v prodejně elektro?
více než \( 7\,200\,\mathrm{CZK} \) a méně než \( 9\,600\,\mathrm{CZK} \)
více než \( 7\,200\,\mathrm{CZK} \) a méně než \( 10\,800\,\mathrm{CZK} \)
více než \( 4\,800\,\mathrm{CZK} \) a méně než \( 9\,600\,\mathrm{CZK} \)
více než \( 4\,800\,\mathrm{CZK} \) a méně než \( 10\,800\,\mathrm{CZK} \)

1003034501

Část: 
C
Dva prodejci akvarijních rybek nabízí v akci Tetru konžskou za \( 42\,\mathrm{CZK} \) za kus. Prodejce A nabízí slevu \( 50\,\mathrm{CZK} \) při nákupu nad \( 300\,\mathrm{CZK} \). Prodejce B nabízí \( 5\% \) slevu z jakéhokoliv nákupu. Kolik daných rybek musíme koupit, má-li být výhodnější nákup u prodejce A?
více než \( 7 \) a méně než \( 24 \)
méně než \( 24 \)
více než \( 23 \)
méně než \( 7 \)

1003083004

Část: 
B
Jakou hodnotu musí mít reálný koeficient \( a \), aby následující soustava rovnic neměla řešení? \[ \begin{aligned} \frac25x-\frac a4y&=4 \\ -\frac x4 + \frac{5y}8&=\frac52 \end{aligned}\]
\( 4 \)
\( -\frac52 \)
Takové reálné číslo \( a \) neexistuje.
\( -4 \)

1003083003

Část: 
A
Najděte množinu všech řešení následující soustavy rovnic. \[ \begin{aligned}\frac23 x-\frac12y&=1 \\ -2x+\frac32y&=-3 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[x; \frac{4x-6}3\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; y\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, } y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \emptyset \)
\( \left\{[0; -2]\right\} \)

1003083002

Část: 
A
Z následujících množin vyberte tu, která nepředstavuje množinu kořenů následující soustavy rovnic. \[ \begin{aligned} \frac12 x-y&=3 \\ \frac x3 - \frac23 y &=2 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[6+2y;\frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, }y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; \frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[6+2y;y\right]\colon y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[2t;t-3\right]\colon t\in\mathbb{R}\right\} \)

1003083001

Část: 
A
Která z následujících soustav má nekonečně mnoho kořenů?
\( \begin{aligned} \frac13x-4y&=2\\ -\frac{x}4+3y&=-\frac32 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \frac13 x-4y&=2 \\ -x+12y&=6 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \frac13 x-4y&=2 \\ \frac x4-6y&=6 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \frac13 x-4y&=2 \\ \frac x3-4y&=0 \end{aligned} \)

1003060504

Část: 
B
Jsou dány čtyři soustavy rovnic. Kolik z uvedených soustav má nekonečně mnoho řešení? \[ \begin{array}{c|c} \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8 \\ -2x+3y-5z&=4 \\ x+y+z&=1 \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ 6x-9y+15z&=12\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)} \\\hline \text{\(\begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ -2x+3y+5z&=4\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} x+y+z&=1 \\ 2x+2y+2z&=2 \\ -\frac x2-\frac y2-\frac z2&=-\frac12 \end{aligned}\)} \end{array} \]
\( 2 \)
\( 1 \)
\( 3 \)
\( 4 \)

1003060503

Část: 
B
Je dána soustava rovnic: \[ \begin{aligned} x-y-z&=0, \\ 2x-y+3z&=1, \\ -3x+2y+z&=2. \end{aligned} \] Která z následujících soustav je s ní ekvivalentní? (Poznámka: Způsob řešení soustav lineárních rovnic úpravou soustavy na tento tvar označujeme jako Gaussovu eliminační metodu.)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ y+5z&=1 \\ 3z&=3 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ y+5z&=-1 \\ 3z&=-1 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ -3y-z&=-1 \\ 5z&=5 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ -3y-z&=-1 \\ 5z&=-7 \end{aligned} \)

1003060502

Část: 
B
Je dána soustava rovnic: \[ \begin{aligned} x+y-2z&=0, \\ x+2y+3z&=0, \\ -2x+y+z&=2. \end{aligned} \] Která z následujících soustav je s ní ekvivalentní? (Poznámka: Způsob řešení soustav lineárních rovnic úpravou soustavy na tento tvar označujeme jako Gaussovu eliminační metodu.)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+5z&=0 \\ 18z&=-2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y-5z&=0 \\ 12z&=2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+5z&=0 \\ 18z&=2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+z&=0 \\ 6z&=2 \end{aligned} \)