Soustavy lineárních rovnic a nerovnic

1103034507

Část: 
B
Máme nerovnoramenné váhy s proměnnou délkou jednoho z ramen (takové váhy se často označují jako přezmeny a využívají se např. v rybářství pro vážení vylovených ryb). Na jedné straně vodorovné "tyče" (vahadla) je zavěšeno břemeno a někde na druhé straně je závaží. Stačí jediné závaží, které se posouvá po delším rameni páky tak dlouho, až nastane rovnováha. Břemeno se zavěšuje vždy \( 5\,\mathrm{cm} \) od bodu závěsu vahadla (viz obrázek). Má-li břemeno tíhu \( 80\,\mathrm{N} \), dosáhneme rovnováhy, když posuneme vyrovnávací závaží až na konec vahadla. Má-li břemeno tíhu \( 60\,\mathrm{N} \), rovnováha nastane, když závaží bude od bodu závěsu vzdáleno \( 30\,\mathrm{cm} \). Jak dlouhé je vahadlo? \[ \] Nápověda: Váhy představují dvojzvratnou páku. Platí podmínka rovnováhy: \( F_1\cdot a=F_2\cdot b \), kde \( F_1 \) je tíha břemene ve vzdálenosti \( a \) od bodu závěsu a \( F_2 \) je tíha závaží ve vzdálenosti \( b \) od bodu závěsu.
\( 45\,\mathrm{cm} \)
\( 54\,\mathrm{cm} \)
\( 40\,\mathrm{cm} \)
\( 35\,\mathrm{cm} \)

1003034506

Část: 
B
Kamil je schopen posekat louku za \( 12 \) hodin. Zdeněk má lepší sekačku a stejnou louku by sám posekal za \( 8 \) hodin. Domluvili se, že Kamil začne sekat sám a Zdeněk se přidá později tak, aby s posekáním louky byli hotovi za \( 9 \) hodin. Jak dlouho budou sekat oba společně?
\( 2 \) hodiny
\( 7 \) hodin
\( 6 \) hodin
\( 3 \) hodiny

1003034505

Část: 
B
V březnu stálo tričko a kraťasy celkem \( 600\,\mathrm{CZK} \). V dubnu ale došlo k úpravám cen. Kraťasy byly zlevněny o \( 10\,\% \) a tričko o \( 10\,\% \) zdraženo. Úpravou cen byl dubnový nákup trička a kraťas o \( 20\,\mathrm{CZK} \) levnější. Určete dubnovou cenu trička.
\( 220\,\mathrm{CZK} \)
\( 200\,\mathrm{CZK} \)
\( 180\,\mathrm{CZK} \)
\( 400\,\mathrm{CZK} \)

1003034503

Část: 
B
Studenti se hlásili na sportovní kurz. Cyklistický kurz si vybralo o \( 18 \) studentů více, než vodácký. Po nějaké době jeden student převedl přihlášku z vodáckého kurzu na cyklistický. Nyní je cyklistů dvakrát více, než vodáků. Kolik studentů se původně hlásilo na vodácký kurz?
\( 21 \)
\( 39 \)
\( 20 \)
\( 15 \)

1003034502

Část: 
C
Petr by si rád koupil nový mobil. Pokud by nastoupil na brigádu k prodejci elektro, dostal by odměnu \( 120\,\mathrm{CZK} \) za odpracovanou hodinu a \( 20\% \) slevu na mobil, který by si v této prodejně koupil. Spočítal si, že za \( 24 \) odpracovaných hodin by si nevydělal ani polovinu potřebných peněz. Jiný zaměstnavatel platí \( 150\,\mathrm{CZK} \) za hodinu. Pokud by Petr nastoupil na brigádu u něj, slevu u prodejce elektro by nedostal, ale mohl by si mobil koupit v e-shopu, v němž se prodává o \( 600\,\mathrm{CZK} \) levněji než u prodejce elektro. Za \( 20 \) hodin by si vydělal více než třetinu peněz potřebných ke koupi mobilu v e-shopu. Kolik mohl stát mobil v prodejně elektro?
více než \( 7\,200\,\mathrm{CZK} \) a méně než \( 9\,600\,\mathrm{CZK} \)
více než \( 7\,200\,\mathrm{CZK} \) a méně než \( 10\,800\,\mathrm{CZK} \)
více než \( 4\,800\,\mathrm{CZK} \) a méně než \( 9\,600\,\mathrm{CZK} \)
více než \( 4\,800\,\mathrm{CZK} \) a méně než \( 10\,800\,\mathrm{CZK} \)

1003034501

Část: 
C
Dva prodejci akvarijních rybek nabízí v akci Tetru konžskou za \( 42\,\mathrm{CZK} \) za kus. Prodejce A nabízí slevu \( 50\,\mathrm{CZK} \) při nákupu nad \( 300\,\mathrm{CZK} \). Prodejce B nabízí \( 5\% \) slevu z jakéhokoliv nákupu. Kolik daných rybek musíme koupit, má-li být výhodnější nákup u prodejce A?
více než \( 7 \) a méně než \( 24 \)
méně než \( 24 \)
více než \( 23 \)
méně než \( 7 \)

1003083004

Část: 
B
Jakou hodnotu musí mít reálný koeficient \( a \), aby následující soustava rovnic neměla řešení? \[ \begin{aligned} \frac25x-\frac a4y&=4 \\ -\frac x4 + \frac{5y}8&=\frac52 \end{aligned}\]
\( 4 \)
\( -\frac52 \)
Takové reálné číslo \( a \) neexistuje.
\( -4 \)

1003083003

Část: 
A
Najděte množinu všech řešení následující soustavy rovnic. \[ \begin{aligned}\frac23 x-\frac12y&=1 \\ -2x+\frac32y&=-3 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[x; \frac{4x-6}3\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; y\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, } y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \emptyset \)
\( \left\{[0; -2]\right\} \)

1003083002

Část: 
A
Z následujících množin vyberte tu, která nepředstavuje množinu kořenů následující soustavy rovnic. \[ \begin{aligned} \frac12 x-y&=3 \\ \frac x3 - \frac23 y &=2 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[6+2y;\frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, }y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; \frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[6+2y;y\right]\colon y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[2t;t-3\right]\colon t\in\mathbb{R}\right\} \)