B

1003035907

Część: 
B
Wyznacz granicę dla ciągu \( \left(\left( \frac32 \right)^n \right)_{n=1}^{\infty} \).
\( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left( \frac32 \right)^n =\infty \)
\( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left( \frac32 \right)^n =\frac32 \)
\( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left( \frac32 \right)^n =\frac{81}{16} \)
\( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left( \frac32 \right)^n = 0\)
\( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left( \frac32 \right)^n \) nie istnieje.

1003082305

Część: 
B
Niech \( [x;y]\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} \), \( z_1 = 5 + xy\,\mathrm{i} \) i \( z_2 = x + y - 4\,\mathrm{i} \). Wskaż wszystkie \( [x;y] \) tak, aby \( z_1 \) i \( z_2 \) były sprzężonymi liczbami zespolonymi.
\( [x;y] \in\left\{[4;1],[1;4]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[6;1],[9;4]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[4;9],[1;6]\right\} \)
\([x;y]\in\left\{[-4;9],[-1;6]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[6;-1],[9;-4]\right\} \)

1003082303

Część: 
B
Dane są liczby zespolone \( a=6\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}3+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}3\right) \), \( b=3\sqrt2\left(\cos\frac56\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac56\pi\right) \) i \( c=2\left(\cos240^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin240^{\circ}\right) \), oblicz \( \frac a{b\cdot c} \).
\( \cos\frac{\pi}6+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}6 \)
\( \cos\frac{11}6\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{11}6\pi \)
\( 4\left(\cos\frac{\pi}6\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}6\pi\right) \)
\( 4\left(\cos⁡\frac{11}6\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{11}6\pi\right) \)

1003082302

Część: 
B
Dane są liczby zespolone \( a=10\left(\cos\frac43\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac43\pi\right) \), \( b=7\left(\cos150^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin150^{\circ}\right) \) i \( c=5\left(\cos⁡\frac74\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac74\pi \right) \), oblicz \( \frac{a\cdot b}c \).
\( 14\left(\cos⁡\frac5{12}\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac5{12}\pi\right) \)
\( 14\left(\cos\frac14\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac14\pi\right) \)
\( 14\left(\cos\frac{23}{12}\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{23}{12}\pi\right) \)
\( 14\left(\cos\frac54\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac54\pi\right) \)

1003082301

Część: 
B
Dane są liczby zespolone \( a=\sqrt2\left(\cos⁡160^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin⁡160^{\circ}\right) \), \( b=3\sqrt2\left(\cos⁡150^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin150^{\circ}\right) \) i \( c=2\left(\cos240^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin240^{\circ}\right) \), oblicz \( a\cdot b\cdot c \).
\(12\left(\cos190^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin190^{\circ}\right) \)
\(12\left(\cos10^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin10^{\circ}\right) \)
\(12\left(\cos⁡10^{\circ}-\mathrm{i}\cdot\sin10^{\circ}\right) \)
\(12\left(\cos⁡190^{\circ}-\mathrm{i}\cdot\sin190^{\circ}\right) \)

1003047409

Część: 
B
Ciąg \( \left(\frac{2\cdot3^n+4^n+5}{4\cdot3^n-1}\right)_{n=1}^{\infty} \) jest:
rozbieżny i \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2\cdot3^n+4^n+5}{4\cdot3^n-1}=\infty \)
zbieżny i \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2\cdot3^n+4^n+5}{4\cdot3^n-1}=\frac12 \)
zbieżny i \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2\cdot3^n+4^n+5}{4\cdot3^n-1}=\frac14 \)
zbieżny i \( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2\cdot3^n+4^n+5}{4\cdot3^n-1}=0 \)
rozbieżny i nie ma nieskończonej granicy

1003047408

Część: 
B
Wybierz pierwszy krok by skutecznie uprościć i oszacować granicę \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3^n+4^{n-1}}{3^n+4^{n+1}} \).
Dzielimy licznik i mianownik przez \( 4^n \).
Dzielimy licznik i mianownik przez \( 3^n \).
Podstawiamy \(n=\infty \).
Wyciągamy \( 3^n \) poza nawias w liczniku i mianowniku.
Wyciągamy \( 4 \) poza nawias w liczniku i mianowniku.