Funkcje liniowe

Automatyczna maszyna produkuje \(12\) elementów na minutę i umieszcza je w pudełku o pojemności \(1\: 500\) elementów. Maszyna zaczyna z początkową ilością \(240\) elementów w pudełku. W jakim czasie w pudełku znajdzie się \(1\: 020\) elementów?

Janek musi dostać się na przeciwną stronę jeziora. Ma trzy możliwości, żeby tam dotrzeć. Może użyć własnej łodzi, musi zacząć natychmiast i żeglować z prędkością \(4\, \mathrm{km}/\mathrm{h}\). Może poczekać na przyjaciela Piotra, który ma szybszą łódź. Łódź Piotra może poruszać się z prędkością \(10\, \mathrm{km}/\mathrm{h}\). Jednakże jego łódź będzie dostępna dopiero za \(1.5\) godziny. Ostatnią możliwością jest użycie zwykłej linii pasażerskiej, która odpływa za \(2.25\) godziny i porusza się z prędkością \(20\, \mathrm{km}/\mathrm{h}\). Znajdź przedział odległości do przeciwnego brzegu jeziora, dla którego najszybszą opcją jest użycie łodzi Piotra.

Rozważmy funkcję \[ f\colon y = [x] + 3 \] na dziedzinie \(\mathop{\mathrm{Dom}}(f) = (1;2)\). Określ wartości parametrów \(a\) i \(b\) i dziedzinę funkcji liniowej \[ g\colon y = ax + b, \] które zapewnią, że funkcje \(f\) and \(g\) są funkcjami tożsamościowymi. \[ \] Wskazówka: Funkcja \(y = [x]\) jest podłogą: największa liczba całkowita jest mniejsza lub równa \(x\). Dla dodatniego \(x\) zwana jest również częścią ułamkową liczby całkowitej \(x\).

Rozważ funkcję liniową \(f\colon y = -5x + 4\) i punkty \(A = [1;-1]\), \(B = [-2;-14]\), \(C = [3;-11]\), \(D = [-4;24]\). Ile punktów należy do wykresu funkcji \(f\)?