C

1003083108

Část: 
C
Grafy funkcí \( f \) a \( g \) jsou paraboly se společným vrcholem \( V \) a \( f(x)=ax^2+c \), kde \( a \) a \( c \) jsou nenulová reálná čísla. Najděte funkci \( g \) tak, aby grafy funkcí \( f \) a \( g \) byly středově souměrné podle vrcholu \( V \) a byly symetrické podle osy \( y \).
\( g(x)=-ax^2+c\), tj. předpisy funkcí \( f \) a \( g \) se liší pouze znaménkem koeficientu u kvadratického členu
\( g(x)=ax^2-c\), tj. předpisy funkcí \( f \) a \( g \) se liší pouze znaménkem koeficientu u lineárního členu
\( g(x)=-ax^2-c \), tj. \( g(x)=-f(x) \)
Žádné z výše uvedených tvrzení není pravdivé.

1003109404

Část: 
C
Kvadratická rovnice \( x^2 + px + 1 - 3\,\mathrm{i} = 0 \) s komplexním parametrem \( p \) má jeden kořen \( x_1 = -\mathrm{i} \). Rovnici můžeme upravit do tvaru:
\( (x + \mathrm{i})(x -3 - \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x + \mathrm{i})(x - 3 +\mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x- 3-\mathrm{i}) = 0 \)
\( (x +\mathrm{i})(x + 3 + \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x- 3 + \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x + 3 +\mathrm{i}) = 0 \)

1003109403

Část: 
C
Jedna z následujících rovnic má kořeny \( x_1=\frac12-\mathrm{i} \), \( x_2=-\frac12+2\,\mathrm{i} \). Najděte tuto rovnici.
\( 4x^2-4\,\mathrm{i}\,x+7+6\,\mathrm{i}=0 \)
\( 4x^2-4\,\mathrm{i}\,x-9+3\,\mathrm{i}=0 \)
\( 4x^2+4\,\mathrm{i}\,x+7+6\,\mathrm{i}\,=0 \)
\( 4x^2+4\,\mathrm{i}\,x-9+3\,\mathrm{i}=0 \)

1003109402

Část: 
C
Vyberte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou \( x_1 = 1 +\mathrm{i} \) a \( x_2 = (1 +\mathrm{i})^2 \).
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x - 2 + 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x - 2 - 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x + 2 + 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x + 2 - 2\,\mathrm{i} = 0 \)

1003109401

Část: 
C
Vyberte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou \( x_1 = 2 + \mathrm{i} \) a \( x_2 = 1 - 3\,\mathrm{i} \).
\( x^2 - (3 - 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\(x^2 + (3 - 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (3 + 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 + (3 + 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)

1003082308

Část: 
C
Nechť \( [x;y]\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} \). Určete všechny \( [x;y] \), když \[ x(8 + 4\,\mathrm{i}) + y(1 - 4\,\mathrm{i}) + 5 = x(3 +\mathrm{i}) + 6(y - 2\,\mathrm{i}) + 9\,\mathrm{i}. \]
Neexistuje žádná dvojice \( [x;y] \).
\( [1;0] \)
\( [0;1] \)
\( [-1; 0] \)
\( [0;-1] \)

1003082307

Část: 
C
Nechť \( z_1 = x^2 + 9y\,\mathrm{i}-20\,\mathrm{i} \) a \( z_2 = 7x-12+ y^2\,\mathrm{i} \). Určete všechny \( [x;y] \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\), pro které se \( z_1= z_2 \).
\( [x;y]\in\left\{[3;4], [3;5], [4;4], [4;5]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[4;3], [4;4], [5;3], [5;4]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[-3;-4], [-3;-5], [-4;-4], [-4;-5]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[-4;-3], [-4;-4], [-5;-3], [-5;-4]\right\} \)

1003082306

Část: 
C
Nechť \( [x;y]\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} \). Najděte všechny \( [x;y] \), pro které platí rovnice: \[ (3x + 2y\,\mathrm{i})\cdot(3x - 2y\,\mathrm{i}) + y^2\,\mathrm{i} = 97 + 4\,\mathrm{i} \]
\( [x;y]\in\left\{[3;2], [-3;2], [3;-2], [-3;-2]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[3;2], [-3;2]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[3;2], [3;-2]\right\}\)
\( [x;y]\in\left\{[3;2], [-3;-2]\right\} \)

1003107605

Část: 
C
Vypočítejte na intervalu \( (0;\infty) \) následující integrál. \[ \int\frac{7x+2}{15x^2+3x}\mathrm{d}x \]
\( \frac23\ln⁡ x-\frac15\ln\left(x+\frac15\right)+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[5]{x+1}}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \frac23\ln x-\ln(5x+1)+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\(\ln\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[5]{x+5}}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)