Geometria analityczna w przestrzeni

2010008905

Część: 
A
Określ wzajemne położenie płaszczyzny \( \sigma \) zadanej równaniem ogólnym \( x-2y+3z-1=0 \) i prostej \( p \) zadanej równaniami parametrycznymi: \[ \begin{aligned} x&=4, \\ y&=5+3t, \\ z&=2+2t;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p\parallel\sigma,\ p\not{\!\!\subset} \sigma \)
\( p \subset \sigma \)
\( p \) przecina płaszczyznę \( \sigma \)

2010008906

Część: 
A
Dane są dwie płaszczyzny przecinające się \(2x - 3y + 5z - 9 = 0\) i \(3x - y + 2z - 1 = 0\). Znajdź równania parametryczne ich linii przecięcia \(p\).
\( \begin{aligned} p\colon x&=-1-t, \\ y&=-2+ 11t, \\ z&=1+ 7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=-1-11t, \\ y&=-2+ 11t, \\ z&=1+ 7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=-1+t, \\ y&=-2+ 11t, \\ z&=1- 11t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=-1-11t, \\ y&=-2+ 11t, \\ z&=1- 11t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

9000101001

Część: 
A
Określ wzajemne położenie prostych w przestrzeni. \[\begin{aligned} p\colon x & = 1 + t, & & \\y & = 2 - t, & & \\z & = 1 - t;\ t\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\] \[\begin{aligned} q\colon x & = 2s, & & \\y & = -1, & & \\z & = 2 - 2s;\ s\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\]
Proste przecinające się.
Proste skośne.
Proste pokrywające się.
Proste równoległe, nie pokrywające się.

9000101003

Część: 
A
Wyznacz wartość rzeczywistą parametru \(m\in \mathbb{R}\) tak, aby proste \(p\) i \(q\) były równoległe i nie pokrywające się. \[ \begin{aligned}p\colon x& = 1 + t, & \\y & = 2 - t, \\z & = 1 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}q\colon x& = s, & \\y & = -s, \\z & = 3 + ms;\ s\in \mathbb{R}. \\ \end{aligned} \]
\(m = -1\)
\(m = -2\)
\(m = 0\)
\(m = 1\)

9000101004

Część: 
A
Wyznacz rzeczywistą wartość parametru \(m\) tak, aby proste \(p\) i \(q\) były prostymi skośnymi. \[ \begin{aligned}p\colon x& = 1 + t, & \\y & = 2 - t, \\z & = 1 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}q\colon x& = s, & \\y & = 1 + s, \\z & = 3 + ms;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(m\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}\)
Brak rozwiązania.
Proste są skośne dla każdej rzeczywistej wartości \(m\).
\(m = -2\)

9000101005

Część: 
A
Wyznacz rzeczywistą wartość parametru \(m\) tak, aby proste \(p\) i \(q\) były prostymi przecinającymi się. \[ \begin{aligned}p\colon x& = 1 + t, & \\y & = 2 - t, \\z & = 1 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}q\colon x& = s, & \\y & = 1 + s, \\z & = 3 + ms;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(m = -2\)
Brak rozwiązań.
Proste są przecinające się dla każdej rzeczywistej wartości \(m\).
\(m = 2\)

9000101006

Część: 
A
Wyznacz rzeczywistą wartość parametru \(m\) tak, aby proste były równoległe i nie pokrywające się. \[ \begin{aligned}p\colon x& = 1 + t, & \\y & = 2 - t, \\z & = 1 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}q\colon x& = s, & \\y & = 1 + s, \\z & = 3 + ms;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
Brak rozwiązań.
Proste są równoległe i nie pokrywające się dla każdej rzeczywistej wartości \(m\).
\(m = -2\)
\(m = 2\)

9000101007

Część: 
A
Wyznacz rzeczywistą wartość parametru \(m\) tak, aby podane proste były prostymi pokrywającymi się. \[ \begin{aligned}p\colon x& = 1 + t, & \\y & = 2 - t, \\z & = 1 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}q\colon x& = s, & \\y & = 1 + s, \\z & = 3 + ms;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
Brak rozwiązania.
Proste są prostymi pokrywającymi się dla każdej rzeczywistej wartości \(m\).
\(m = -2\)
\(m = 2\)