Linie i płaszczyzny: długości i kąty

2010015804

Część: 
B
Krawędź podstawy \( ABCD \) ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \( ABCDV \) ma długość \( 6\,\mathrm{cm} \). Wysokość ostrosłupa wynosi \( 3\sqrt2\,\mathrm{cm} \). Znajdź odległość między punktem \( A \) a prostą \( CV \) (patrz rysunek).
\( 6\,\mathrm{cm} \)
\( 3\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \)
\( 9\,\mathrm{cm} \)
\( 3\sqrt{2}\,\mathrm{cm} \)

2010015808

Część: 
B
Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy ma długość \(a = 6\; \mathrm{cm}\), wysokość ostrosłupa wynosi \(v = 10\; \mathrm{cm}\). Wyznacz kąt \(\varphi \).
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{10} {3\sqrt2}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 67^{\circ }\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{10} {3}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 73^{\circ }18^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}{2} = \frac{3\sqrt2} {10}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 45^{\circ }59^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}2 = \frac{3} {10}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 33^{\circ }24^{\prime}\)

2010015809

Część: 
B
Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDV\). Krawędź podstawy jest równa \(a = 6\; \mathrm{cm}\), wysokość ostrosłupa jest równa \(v = 8\; \mathrm{cm}\). Wyznacz kąt \(\varphi \) między przeciwległymi krawędziami bocznymi (kąt \(AVC\)).
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}2 = \frac{3\sqrt2} {8}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 55^{\circ }53'\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{3\sqrt2} {8}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 27^{\circ }56^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}{2} = \frac{3} {8}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 41^{\circ }7^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}2 = \frac{8} {3\sqrt2}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 124^{\circ }7^{\prime}\)

2010015810

Część: 
B
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy \(a = 10\; \mathrm{cm}\), wysokość ostrosłupa \(v = 10\; \mathrm{cm}\). Wyznacz kąt \(\varphi \) między krawędzią boczną ostrosłupa a jego krawędzią podstawy.
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits {\varphi} = \sqrt5 \mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 65^{\circ }54^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{\sqrt5} {5}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 24^{\circ }6^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}{2} = \frac{\sqrt5} {5}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 48^{\circ }11^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits {\varphi} = \frac{\sqrt{10}} {2}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 57^{\circ }41^{\prime}\)

9000046409

Część: 
B
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku \(2\, \mathrm{cm}\). Wysokość ostrosłupa jest równa \(4\, \mathrm{cm}\). Oblicz kąt między ścianą boczna ostrosłupa, a jego podstawą. Zaokrągli odpowiedź do dwóch miejsc po przecinku.
\(75.96^{\circ }\)
\(70.52^{\circ }\)
\(79.98^{\circ }\)

9000128801

Część: 
B
Bok podstawy \(ABCD\) ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDV \) jest równy \(6\, \mathrm{cm}\). Wysokość ostrosłupa to \(4\, \mathrm{cm}\). Punkt \(M\) to środek boku \(CV \). Oblicz odległość pomiędzy punktem \(M\) a płaszczyzną \(ABC\).
\(2\, \mathrm{cm}\)
\(\frac{\sqrt{34}} {2} \, \mathrm{cm}\)
\(\frac{5} {2}\, \mathrm{cm}\)

9000128802

Część: 
B
Bok podstawy \(ABCD\) ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDV \) jest równy \(6\, \mathrm{cm}\). Wysokość ostrosłupa to \(4\, \mathrm{cm}\). Punkt \(M\) jest środkiem boku \(CV \). Oblicz odległość pomiędzy punktem \(M\) a prostą \(BC\).
\(\frac{5} {2}\, \mathrm{cm}\)
\(\frac{\sqrt{34}} {2} \, \mathrm{cm}\)
\(\frac{\sqrt{7}} {2} \, \mathrm{cm}\)

9000128803

Część: 
B
Bok podstawy \(ABCD\) ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDV \) wynosi \(6\, \mathrm{cm}\). Wysokość ostrosłupa jest równa \(4\, \mathrm{cm}\). Punkt \(M\) to środek boku \(CV \). Oblicz odległość między punktem \(M\) a prostą \(AD\).
\(\frac{\sqrt{97}} {2} \, \mathrm{cm}\)
\(\frac{\sqrt{106}} {2} \, \mathrm{cm}\)
\(\frac{\sqrt{65}} {2} \, \mathrm{cm}\)

9000128804

Część: 
B
Bok podstawy \(ABCD\) ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDV \) jest równy \(6\, \mathrm{cm}\). Wysokość ostrosłupa wynosi \(4\, \mathrm{cm}\). Oblicz odległość pomiędzy prostą \(AD\), a płaszczyzną \(BCV \).
\(\frac{24} {5} \, \mathrm{cm}\)
\(\frac{15\sqrt{34}} {5} \, \mathrm{cm}\)
\(6\, \mathrm{cm}\)