Linie i płaszczyzny: długości i kąty

1103061408

Część: 
A
Dany jest prostopadłościan \( ABCDEFGH \) o bokach \( |AB|=|BC|=6\,\mathrm{cm} \), \( |AE|=8\,\mathrm{cm} \). Oblicz kąt pomiędzy płaszczyzną \( ABC \) a \( AFH \) (spójrz na rysunek). Zaokrągli wynik do dwóch miejsc po przecinku.
\( 62{,}06^{\circ} \)
\( 53{,}13^{\circ} \)
\( 45^{\circ} \)
\( 60^{\circ} \)

2010015605

Część: 
A
Prostokątne pudełko \( ABCDA'B'C'D' \) ma krawędzie o długościach \( |AB|=6\,\mathrm{cm} \) i \( |BC|=8\,\mathrm{cm} \). Punkt \(S\) jest środkiem podstawy \(ABCD\) (patrz rysunek), a długość odcinka \(A'S\) wynosi \(13\,\mathrm{cm}\). Znajdź odległość między punktami \(A\) i \(A'\).
\( 12\,\mathrm{cm} \)
\( \sqrt{194}\,\mathrm{cm} \)
\( \sqrt{69}\,\mathrm{cm} \)
\( 4\sqrt{10}\,\mathrm{cm} \)

2010015606

Część: 
A
Prostokątne pudełko \( ABCDA'B'C'D' \) ma krawędzie o długości \( |AB|=4\sqrt3\,\mathrm{cm} \) i \( |BC|=8\,\mathrm{ cm} \). Punkt \(S\) jest środkiem powierzchni bocznej \(ADD'A'\) (patrz rysunek), a długość odcinka \(B'S\) wynosi \(10\,\mathrm{cm} \). Znajdź odległość między punktami \(A\) i \(A'\).
\( 12\,\mathrm{cm} \)
\( 6\,\mathrm{cm} \)
\( \sqrt{164}\,\mathrm{cm} \)
\( \sqrt{272}\,\mathrm{cm} \)

2010015607

Część: 
A
Prostokątne pudełko \( ABCDA'B'C'D' \) ma krawędzie o długościach \( |AB|=5\,\mathrm{cm} \) i \( |BC|=6\,\mathrm{cm} \). Odległość między środkiem górnej ściany \(A'B'C'D'\) a środkiem dolnej ściany \(ABCD\) wynosi \(12\,\mathrm{cm}\). Znajdź długość przekątnej \(DC'\).
\( 13\,\mathrm{cm} \)
\( 6\sqrt5 \,\mathrm{cm} \)
\( \sqrt{119}\,\mathrm{cm} \)
\(6 \sqrt{3}\,\mathrm{cm} \)

2010015807

Część: 
A
Boki prostopadłościannego pudełka przedstawionego na rysunku mają długości: \(a = 3\, \mathrm{cm}\), \(b = 4\, \mathrm{cm}\) i \(c = 12\, \mathrm{cm}\). Przekątna bryły jest równa \(u_{t}\) i najkrótsza przekątna ściany to \(u_{s}\). Wyznacz stosunek \(u_{s} : u_{t}\).
\(5 : 13\)
\(13 : 5\)
\(13\sqrt{10}:40\)
\(4\sqrt{10}:13\)

9000045709

Część: 
A
Kąt \(\omega \) to kąt między przekątną sześcianu, a przekątną podstawy tego sześcianu. Wybierz wyrażenie, które pozwala obliczyć \(\omega \).
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \omega = \frac{\sqrt{2}} {2} \)
\(\cos \omega = \frac{\sqrt{2}} {2} \)
\(\sin \omega = \frac{\sqrt{2}} {2} \)
\(\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits \omega = \frac{\sqrt{2}} {2} \)

9000120302

Część: 
A
Dany jest prostopadłościan o bokach \(a = 5\, \mathrm{cm}\), \(b = 8\, \mathrm{cm}\) i \(c = \sqrt{111}\, \mathrm{cm}\). Oblicz długość przekątnej \(u\).
\(10\sqrt{2}\, \mathrm{cm}\)
\(\sqrt{222}\, \mathrm{cm}\)
\(20\, \mathrm{cm}\)
\(2\sqrt{10}\, \mathrm{cm}\)
\(5\sqrt{7}\, \mathrm{cm}\)

9000120303

Część: 
A
Wskaż właściwą zależność kąta \(\alpha \) między przekątną sześcianu, a przekątną ściany bocznej, obie przekątne przechodzą przez ten sam wierzchołek.
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha = \frac{\sqrt{2}} {2} \)
\(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}} {2} \)
\(\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}} {3} \)
\(\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits \alpha = \sqrt{3}\)
\(\alpha = 45^{\circ }\)