Slovná úloha

Albert dostal od svojho starého otca milión dolárov ako darček k dvadsiatym narodeninám. Myslel si, že peniaze uloží na bankový účet a vyberie ich za $20$ rokov. Dúfal, že do daného času ztrojnásobí svoju sumu, a preto sa zamýšľal, aká je minimálna ročná úroková miera, pri ktorej by mal uložiť svoje peniaze. Keďže požadovanú úrokovú mieru nevedel vypočítať sám, požiadal o pomoc niekoľkých svojich spolužiakov z Ekonomickej univerzity:

Bob: Úroková sadzba zostáva počas rokov konštantná, čo znamená, že suma peňazí na bankovom účte rastie lineárne. Túto sumu preto môžeme opísať pomocou lineárnej funkcie $y=v(1+ax)$, kde $x$ je doba sporenia (v našom prípade v rokoch), $y$ je suma peňazí na bankovom účte po $x$ rokoch a $v$ predstavuje počiatočný vklad (v našom prípade sa $v$ rovná $1$, čo predstavuje jeden milión dolárov). Koeficient $a$ je ročná úroková miera, ktorú môžeme vypočítať na základe Albertovej požiadavky: "Za dvadsať rokov chcem peniaze strojnásobiť!"

Nahradíme ($v=1$, $x=20$, $y=3v=3$): $$ \begin{aligned} y=v(1+ax)\cr 3=1+20a \cr \bf{a=0{,}1} \end{aligned} $$ Minimálna úroková miera by teda mala byť $10\%$ ročne a suma na bankovom účte by rástla takto:

Na obrázku: Na vodorovnej osi sú hodnoty vyjadrené počtom rokov sporenia a na zvislej osi je suma peňazí (v miliónoch) na bankovom účte.

Cecilia: " Ak si dobre pamätám zo školy, miera, akou rastie suma na účte, sa časom postupne zvyšuje, protože sa znovu zúročujú aj pripísané úroky. To zodpovedá kvadratickej funkcii (graf je parabola), čo znamená, že Bobova rovnica by mala byť upravená umocnením $x$:" $$ \begin{aligned} y=v(1+ax^2) \cr 3=1+400a \cr \bf{a=0{,}005} \end{aligned} $$ Takže minimálna úroková miera by mala byť $0{,}5\%$ ročne a suma na bankovom účte by rástla takto:

Na obrázku: Na vodorovnej osi sú hodnoty vyjadrené počtom rokov sporenia a na zvislej osi je suma peňazí (v miliónoch) na bankovom účte.

David: "Súhlasím s Cecíliou, že nemôžeme použiť lineárnu funkciu. Jej výpočet je však určite nesprávny. Ročná úroková miera $0{,}5\%$ nemôže viesť k strojnásobeniu sumy ani po $20$ rokoch. Pamätám si, že na takéto výpočty sme používali exponenciálnu funkciu:" $$ \begin{aligned} y=v(1+a)^x\cr 3=(1+a)^{20} \cr \bf{a \doteq 0{,}05647} \end{aligned} $$

Minimálna úroková miera by teda mala byť približne $5{,}647\%$ ročne a suma na účte by rástla takto:

Na obrázku: Na vodorovnej osi sú hodnoty vyjadrené počtom rokov sporenia a na zvislej osi je suma peňazí (v miliónoch) na bankovom účte.

Poradil niekto Albertovi dobre?