Albert recibió un millón de dólares de su abuelo como regalo por su vigésimo cumpleaños. Pensó en depositar el dinero en una cuenta bancaria y retirarlo dentro de $20$ años. Esperaba triplicar la cantidad para entonces, por lo que se preguntó cuál sería el tipo de interés anual mínimo al que debería depositar su dinero. Como no podía calcular por sí mismo el tipo necesario, pidió ayuda a algunos de sus compañeros de la Facultad de Económicas:
Bob: El tipo de interés se mantiene constante a lo largo de los años, lo que significa que la cantidad de dinero en la cuenta bancaria crece linealmente. Por lo tanto, podemos describir esta cantidad mediante una función lineal $y=v(1+ax)$, donde $x$ es el período de ahorro (en nuestro caso en años), $y$ es la cantidad de dinero en la cuenta bancaria después de $x$ años y $v$ representa el depósito inicial (en nuestro caso $v$ es igual a $1$, que representa un millón de dólares). El coeficiente $a$ es el tipo de interés anual, que podemos calcular a partir de la exigencia de Albert: «¡En veinte años quiero triplicar el dinero!”
Sustituimos ($v=1$, $x=20$, $y=3v=3$): $$ \begin{aligned} y=v(1+ax)\cr 3=1+20a \cr \bf{a=0.1} \end{aligned} $$
Así, el tipo de interés mínimo debería ser del $10\%$ anual, y la cantidad en la cuenta bancaria crecería de la siguiente manera:
En la imagen: En el eje horizontal, los valores muestran el número de años de ahorro, y en el eje vertical, muestran la cantidad de dinero (en millones) en la cuenta bancaria.
Cecilia: ”Si no recuerdo mal de la escuela, la tasa a la que crece la cantidad en la cuenta aumenta gradualmente con el tiempo porque el interés también se gana sobre el interés acumulado previamente. Eso corresponde a una función cuadrática (la gráfica es una parábola), lo que significa que la ecuación de Bob debería modificarse elevando al cuadrado $x$:” $$ \begin{aligned} y=v(1+ax^2) \cr 3=1+400a \cr \bf{a=0.005} \end{aligned} $$
Así, el tipo de interés mínimo debería ser de $0.5\%$ al año, y la cantidad en la cuenta bancaria crecería de la siguiente manera:
En la imagen: En el eje horizontal, los valores muestran el número de años de ahorro, y en el eje vertical, muestran la cantidad de dinero (en millones) en la cuenta bancaria.
David: ”Estoy de acuerdo con Cecilia en que no podemos utilizar una función lineal. Sin embargo, su cálculo es definitivamente incorrecto. El tipo de interés anual de $0.5\%$ no puede triplicar el importe ni siquiera al cabo de $20$ años. Recuerdo que para este tipo de cálculos utilizamos una función exponencial:” $$ \begin{aligned} y=v(1+a)^x\cr 3=(1+a)^{20} \cr \bf{a \doteq 0.05647} \end{aligned} $$
Así, el tipo de interés mínimo debería ser de aproximadamente $5.647\%$ al año, y el importe de la cuenta crecería de la siguiente manera:
En la imagen: En el eje horizontal, los valores muestran el número de años de ahorro, y en el eje vertical, muestran la cantidad de dinero (en millones) en la cuenta bancaria.
Bob
Cecilia
David
Nadie
Si se deposita la cantidad inicial de $v$ después del primer año se abonarán los intereses de $va$ El importe total de la cuenta será entonces de: $$ v+va=v(1+a) $$
Después del segundo año, se añadirán intereses de $v(1+a)a$ al importe de $v(1+a)$. Así, después del segundo año, el importe de la cuenta será de: $$ v(1+a)+v(1+a)a=v(1+a)(1+a)=v(1+a)^2 $$
Generalizando este planteamiento, al cabo de $x$ años, el dinero en la cuenta ascenderá a: $$ v(1+a)^x $$
