Albert dostal ke dvacátým narozeninám od dědečka jeden milion dolarů. Napadlo ho, že peníze vloží do banky a vybere je až za $20$ let (to už by snad konečně mohl mít rozum). Chtěl by, aby se mu během této doby částka ztrojnásobila a proto ho zajímalo, na jakou minimální roční úrokovou sazbu má peníze uložit. Sám to spočítat neuměl, proto se zeptal několika spolužáků z VŠE:
Bob: Úrok se během let nemění, to znamená, že množství peněz na účtu roste lineárně. Proto můžeme jev popsat pomocí lineární funkce $y=v(1+ax)$, kde $x$ je doba spoření (v tomto případě v letech), $y$ je množství peněz na bankovním účtu po $x$ letech a $v$ představuje počáteční vklad (v našem případě se $v$ rovná $1$, což představuje jeden milion korun). Koeficient $a$ je pak roční úroková sazba, kterou vypočteme z Albertova požadavku: „Po dvaceti letech chci trojnásobek!“
Dosazujeme tedy do funkce ($v=1$, $x=20$, $y=3v=3$): $$ \begin{aligned} y=v(1+ax)\cr 3=1+20a \cr \bf{a=0{,}1} \end{aligned} $$
Minimální úrok je tedy $10\%$ ročně a částka na účtu poroste následujícím způsobem:
Na obrázku: Hodnoty na vodorovné ose uvádějí roky spoření a hodnoty na svislé ose částku (v milionech) na bankovním účtu.
Cecílie: ”Pokud si to ze školy dobře pamatuji, tak rychlost, s jakou roste částka na účtu, se postupně zvyšuje, protože se znovu zúročují i připsané úroky. To by odpovídalo průběhu paraboly, tedy kvadratické funkci. Tzn., že Bobův výpočet se změní pouze ve druhé mocnině u proměnné $x$:” $$ \begin{aligned} y=v(1+ax^2) \cr 3=1+400a \cr \bf{a=0{,}005} \end{aligned} $$
Minimální úrok je tedy $0{,}5\%$ ročně a částka na účtu poroste následujícím způsobem:
Na obrázku: Hodnoty na vodorovné ose uvádějí roky spoření a hodnoty na svislé ose částku (v milionech) na bankovním účtu.
David: ”Souhlasím s Cecílií, že nelze použít lineární funkci, ale její výpočet je určitě špatně. Ročním úrokem $0{,}5\%$ nemůžu ani za tak dlouhou dobu $20$ let dosáhnout trojnásobku vkladu. Já si pamatuji, že jsme při takových výpočtech používali exponenciální funkci:” $$ \begin{aligned} y=v(1+a)^x\cr 3=(1+a)^{20} \cr \bf{a \doteq 0{,}05647} \end{aligned} $$
Minimální úrok by tedy měl být přibližně $5{,}647\%$ ročně a částka na účtu poroste následujícím způsobem:
Na obrázku: Hodnoty na vodorovné ose uvádějí roky spoření a hodnoty na svislé ose částku (v milionech) na bankovním účtu.
Poradil někdo Albertovi dobře?
Bob
Cecílie
David
Nikdo
Pokud je na účet vložena počáteční částka $v$, pak po prvním roce bude připsán úrok ve výši $va$. Celková částka na účtu pak bude: $$ v+va=v(1+a) $$
Po druhém roce bude k částce $v(1+a)a$ připočten úrok ve výši $v(1+a)$. Takže po druhém roce bude částka na účtu: $$ v(1+a)+v(1+a)a=v(1+a)(1+a)=v(1+a)^2 $$
Zobecněním tohoto přístupu bude po $x$ letech zůstatek na účtu: $$ v(1+a)^x $$
