Albert otrzymał od dziadka milion dolarów w prezencie na swoje dwudzieste urodziny. Pomyślał o zdeponowaniu pieniędzy na koncie bankowym i wypłaceniu ich za 20 lat. Miał nadzieję potroić tę kwotę do tego czasu, więc zastanawiał się, jaka jest minimalna roczna stopa procentowa, przy której powinien zdeponować swoje pieniądze. Ponieważ nie mógł samodzielnie obliczyć wymaganej stopy procentowej, poprosił o pomoc kilku swoich kolegów z Uniwersytetu Ekonomicznego:
Bob: Stopa procentowa pozostaje stała przez wszystkie lata, co oznacza, że kwota pieniędzy na koncie bankowym rośnie liniowo. Możemy zatem opisać tę kwotę za pomocą funkcji liniowej $y=v(1+ax)$, gdzie $x$ to okres oszczędzania (w naszym przypadku w latach), $y$ to kwota pieniędzy na koncie bankowym po $x$ latach, a $v$ reprezentuje początkowy depozyt (w naszym przypadku $v$ równa się $1$, reprezentujący milion dolarów). Współczynnik $a$ to roczna stopa procentowa, którą możemy obliczyć na podstawie wymagań Alberta: "Za dwadzieścia lat chcę potroić pieniądze!".
Zastępujemy ($v=1$, $x=20$, $y=3v=3$): $$ \begin{aligned} y=v(1+ax)\cr 3=1+20a \cr \bf{a=0{,}1} \end{aligned} $$
Tak więc minimalna stopa procentowa powinna wynosić $10\%$ rocznie, a kwota na koncie bankowym będzie rosła w następujący sposób:
Na rysunku: Na osi poziomej wartości pokazują liczbę lat oszczędzania, a na osi pionowej pokazują kwotę pieniędzy (w milionach) na koncie bankowym.
Cecylia: "Jeśli dobrze pamiętam ze szkoły, to tempo wzrostu kwoty na koncie stopniowo rośnie w czasie, ponieważ odsetki są również zarabiane na wcześniej zgromadzonych odsetkach. Odpowiada to funkcji kwadratowej (wykres jest parabolą), co oznacza, że równanie Boba należy zmodyfikować, podnosząc $x$ do kwadratu:" $$ \begin{aligned} y=v(1+ax^2) \cr 3=1+400a \cr \bf{a=0{,}005} \end{aligned} $$
Tak więc minimalna stopa procentowa powinna wynosić $0{,}5\%$ rocznie, a kwota na koncie bankowym będzie rosła w następujący sposób:
Na rysunku: Na osi poziomej wartości pokazują liczbę lat oszczędzania, a na osi pionowej pokazują kwotę pieniędzy (w milionach) na koncie bankowym.
David: "Zgadzam się z Cecilią, że nie możemy użyć funkcji liniowej. Jednak jej obliczenia są zdecydowanie niepoprawne. Roczna stopa procentowa w wysokości $0{,}5\%$ nie może doprowadzić do potrojenia kwoty nawet po $20$ latach. Pamiętam, że do takich obliczeń używaliśmy funkcji wykładniczej:" $$ \begin{aligned} y=v(1+a)^x\cr 3=(1+a)^{20} \cr \bf{a \doteq 0{,}05647} \end{aligned} $$
Zatem minimalna stopa procentowa powinna wynosić około $5{,}647\%$ rocznie, a kwota na koncie będzie rosnąć w następujący sposób:
Na rysunku: Na osi poziomej wartości pokazują liczbę lat oszczędzania, a na osi pionowej pokazują kwotę pieniędzy (w milionach) na koncie bankowym.
Bob
Cecilia
David
Nikt
Jeśli początkowa kwota $v$ zostanie zdeponowana, to po pierwszym roku zostaną naliczone odsetki w wysokości $va$. Łączna kwota na koncie wyniesie wówczas: $$ v+va=v(1+a) $$
Po drugim roku odsetki w wysokości $v(1+a)a$ zostaną dodane do kwoty $v(1+a)$. Zatem po drugim roku kwota na koncie będzie wynosić: $$ v(1+a)+v(1+a)a=v(1+a)(1+a)=v(1+a)^2 $$
Uogólniając to podejście, po $x$ latach środki na koncie wyniosą: $$ v(1+a)^x $$
