Pat a Mat dostali $20\,\mathrm{m}^2$ dlaždíc vhodných na obkladanie zakrivených plôch. Rozhodli sa vykopať a obložiť kruhový bazén (v tvare valca) vo svojej záhrade s najväčším možným objemom. Pat navrhol bazén s malým priemerom, ktorý by bol veľmi hlboký. Matovi sa tento nápad nepáčil a povedal, že skôr pripomína studňu ako bazén. Namiesto toho Mat navrhol bazén s väčším priemerom, ktorý by bol vzhľadom na obmedzený počet dlaždíc veľmi plytký. Ich strýko Pepin, ktorý išiel náhodou okolo, poznamenal, že bazén s najväčším objemom bude mať rovnaký polomer ako jeho hĺbka. Tiež spomenul, že sa to dá vlastne jednoducho vypočítať. Nadšení touto úlohou začali Pat a Mat počítať:
(1) Pat uvažoval: Ak $r$ je polomer bazéna a $h$ je hĺbka bazéna, potom objem bazéna je daný: $$ V = \pi r^2 h $$ Ak požadujeme maximálny objem bazéna, musíme nájsť maximálnu hodnotu funkcie $V$, ktorá v súčasnosti závisí od dvoch premenných, $r$ a $h$.
(2) Mat si navyše uvedomil, že medzi $r$ a $h$ existuje vzťah, pretože plocha, ktorú treba obložiť dlaždicami, je presne $20\,\mathrm{m}^2$. Táto plocha predstavuje povrch valca bez jeho jednej podstavy, t. j. $S = \pi r^2 + 2\pi r h$. Dostávame rovnicu: $$ 20 = \pi r^2 + 2\pi r h,$$ ktorá vyjadruje vzťah medzi $r$ a $h$. Z tejto rovnice vyjadrili $h$ pomocou $r$: $$ h = \frac{20-\pi r^2}{ 2\pi r} = \frac{10}{\pi r} - \frac{r}{2} $$ Okrem toho si Pat a Mat uvedomili, že $r$ a $h$ musia byť kladné, pretože $r$ je polomer bazéna a $h$ je jeho hĺbka. Napísali teda podmienku: $$ \frac{10}{\pi r} - \frac{r}{2} > 0, $$ t. j., $$ 0 < r < r_{\mathrm{max}} = \sqrt{\frac{20}{\pi} } $$
(3) Pat a Mat potom dosadili získaný výraz pre $h$ do rovnice pre objem $V = \pi r^2 h$ a získali funkciu $V$ vyjadrujúcu závislosť objemu bazénu na jeho polomere $r$: $$ V(r ) = \pi r^2 \left( \frac{10}{\pi r} - \frac{r}{2} \right) = 10r - \frac{\pi r^3}{2}, $$ kde $r \in (0, r_{\mathrm{max}})$.
(4) Aby našli maximum funkcie, vypočítali jej deriváciu: $$ V'(r ) = 10 - \frac{3\pi r^2}{ 2} $$ Položením $V'(r ) = 0$ a vyriešením výslednej rovnice zistili: $$ r_0 = \sqrt{\frac{20}{3\pi}} \doteq 1{,}46\,\mathrm{m} $$ a overili, že $r_0 \in (0, r_{\mathrm{max}}).$
(5) Potom sa ešte presvedčili, že na intervale $(0, r_0)$ je derivácia $V'(r)$ spojitej funkcie $V(r)$ kladná, čo znamená, že funkcia $V(r)$ je rastúca na $(0,r_0 \rangle$. Ďalej, na intervale $\langle r_0,r_{\mathrm{max}})$ je derivácia $V'(r)$ záporná, takže funkcia $V(r)$ je na $\langle r_0,r_{\mathrm{max}})$ klesajúca. To znamená, že v bode $r_0$ má funkcia $V(r)$ globálne maximum na $(0, r_{\mathrm{max}})$. Polomer bazéna s maximálnym objemom je teda $r_0$. Dosadením $r_0$ do výrazu pre $h$: $$ h = \frac{10}{\pi r} - \frac{r}{2} $$ Pat a Mat zistili, že hĺbka bazéna je približne $h \doteq 1{,}46\,\mathrm{m}$, čo sa rovná jeho polomeru. Strýko Pepin mal zrejme pravdu.
Vypočítali Pat a Mat všetko správne? Vyberte správnu odpoveď.
Celý postup je správny.
Nie. V kroku (1) je chyba. Vzťah $V = \pi r^2 h$ je nesprávny. Malo to byť $V = \pi r h^2$.
Nie. V kroku (2) je chyba. Vzťah pre povrch bazéna je nesprávny. Mal by byť $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h $.
Nie. V kroku (3) je chyba. Malo byť $V(r ) = 10\pi r - \frac{r^3}{2}$.
Nie. Derivácia v kroku (4) je nesprávna.
Nie. V kroku (5) je chyba. Našli minimum, nie maximum funkcie $V$.
Na obrázku vidíme závislosť objemu bazénu $V$ na jeho polomere $r$.
