Pat y Mat recibieron $20\,\mathrm{m}^2$ azulejos adecuados para alicatar superficies curvas. Decidieron excavar y alicatar una piscina circular (en forma de cilindro) en su jardín. Pat propuso una piscina de diámetro pequeño y muy profunda (piscina de superficie pequeña). A Mat no le gustó la idea, ya que parecía más un pozo que una piscina. En su lugar, Mat sugirió una piscina de mayor diámetro que, debido al número limitado de azulejos, sería muy poco profunda. Su tío Pepin, que pasaba por allí, comentó que la piscina de mayor volumen tendría el mismo radio que su profundidad. También comentó que, en realidad, era fácil de calcular.
Entusiasmados por el reto, Pat y Mat empezaron sus cálculos:
(1) Pat razonó: si $r$ es el radio y $h$ es la profundidad de la piscina, entonces el volumen de la piscina viene dado por
V = \pi r^2 h $$ Si necesitamos el volumen máximo de la piscina, tenemos que encontrar el valor máximo de la función $V$, que actualmente depende de dos variables, $r$ y $h$.
(2) Además, Mat se dio cuenta de que existe una relación entre $r$ y $h$, ya que la superficie que hay que alicatar es exactamente $20\,\mathrm{m}^2$. Esta superficie corresponde a la superficie lateral del cilindro más el área de su base circular única, es decir,, $S = \pi r^2 + 2\pi r h $. Obtuvieron la ecuación: $$ 20 = \pi r^2 + 2\pi r h $$ estableciendo la relación entre $r$ y $h$. A partir de esta ecuación expresaron $h$ en términos de $r$: $$ h = \frac{20−\pi r^2}{ 2\pi r} = \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} $$ Además, Pat y Mat se dieron cuenta de que $r $ y $h$ deben ser positivos ya que $r $ es el radio de la piscina y $h$ es su profundidad. Entonces, escribieron la condición $$ \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} > 0, $$ i.e., $$ 0 < r < r_{\mathrm{max}} = \sqrt{\frac{20}{\pi} } $$
(3) Pat y Mat sustituyeron entonces la expresión obtenida para $h$ en la ecuación para el volumen $V = \pi r^2 h $ y obtuvieron $V$ como función de $r$ solamente: $$ V(r ) = \pi r^2 \left( \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} \right) = 10r − \frac{\pi r^3}{2}, $$ donde $r \in (0, r_{\mathrm{max}})$.
(4) Para hallar el máximo de la función, calcularon su derivada: $$ V'(r ) = 10 − \frac{3\pi r^2}{ 2} $$ Fijando $V'(r ) = 0$ y resolviendo la ecuación resultante, hallaron: $$ r_0 = \sqrt{\frac{20}{3\pi}} \doteq 1.46\,\mathrm{m} $$ y verificaron que $r_0 \in (0, r_{\mathrm{max}}).$
(5) Luego verificaron que en el intervalo $(0, r_0)$, la derivada $V'(r)$ de la función continua $V(r)$ es positiva, lo que significa que la función $V(r)$ es creciente en $(0,r_0 ]$. Además, en el intervalo $[ r_0,r_{\mathrm{max}})$, la derivada $V'(r)$ es negativa, por lo que la función $V(r)$ es decreciente en $[ r_0,r_{\mathrm{max}})$. Esto significa que en el punto $r_0$, la función $V(r)$ tiene un máximo global en $(0, r_{\mathrm{max}})$. Por lo tanto, el radio de la piscina con el volumen máximo es $r_0$. Sustituyendo $r_0$ en la expresión para $h$: $$ h = \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} , $$ Pat y Mat descubrieron que la profundidad de la piscina era aproximadamente $h \doteq 1.46\,\mathrm{m}$, que es igual a su radio. Aparentemente, el tío Pepin tenía razón.
¿Han calculado Pat y Mat todo correctamente? Elige la respuesta correcta.
Todo el procedimiento es correcto.
No. Hay un error en el paso (1). La relación $V = \pi r^2 h$ es incorrecta. Debería haber sido $V = \pi r h^2$.
No. Hay un error en el paso (2). La relación de la superficie de la piscina es incorrecta. Debería haber sido $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h $.
No. Hay un error en el paso (3). Debería haber sido $V(r ) = 10\pi r - \frac{r^3}{2}$.
No. La derivada del paso (4) es incorrecta.
No. Hay un error en el paso (5). Encontraron el mínimo, no el máximo de la función $V$.
La dependencia del volumen de la piscina $V$ del radio $r$.
