Pat i Mat otrzymali $20\,\mathrm{m}^2$ płytek odpowiednich do wykładania zakrzywionych powierzchni. Postanowili wykopać i wyłożyć płytkami okrągły basen (w kształcie walca) w swoim ogrodzie. Pat zaproponował basen o małej średnicy, który byłby bardzo głęboki (basen o małej powierzchni). Matowi nie spodobał się ten pomysł, twierdząc, że przypomina on raczej studnię niż basen. Zamiast tego Mat zasugerował basen o większej średnicy, który ze względu na ograniczoną liczbę płytek byłby bardzo płytki. Ich wujek Pepin, który akurat przechodził obok, zauważył, że basen o największej objętości będzie miał taki sam promień jak jego głębokość. Wspomniał również, że w rzeczywistości jest to proste do obliczenia.
Podekscytowani wyzwaniem, Pat i Mat rozpoczęli obliczenia:
(1) Pat rozumował w ten sposób: Jeśli $r$ to promień basenu, a $h$ jest głębokością basenu, wówczas objętość basenu jest określona przez: $$ V = \pi r^2 h $$ Jeśli potrzebujemy maksymalnej objętości puli, musimy znaleźć maksymalną wartość funkcji $V$, która obecnie zależy od dwóch zmiennych, $r$ i $h$.
(2) Dodatkowo Mat zdał sobie sprawę, że istnieje związek między $r$ i $h$, ponieważ powierzchnia, która ma być pokryta płytkami wynosi dokładnie $20\,\mathrm{m}^2$. Powierzchnia ta odpowiada powierzchni bocznej cylindra powiększonej o powierzchnię jego pojedynczej okrągłej podstawy, tj., $S = \pi r^2 + 2\pi r h $. Otrzymali równanie:
$$ 20 = \pi r^2 + 2\pi r h $$
ustanowienie relacji między $r$ i $h$. Z tego równania wynika, że $h$ pod względem $r$:
$$ h = \frac{20−\pi r^2}{ 2\pi r} = \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} $$
Co więcej, Pat i Mat zdali sobie sprawę, że $r$ i $h$ muszą być dodatnie, ponieważ $r$ to promień basenu, a $h$ to jego głębokość. Napisali więc warunek:
$$ \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} > 0, $$
tj,
$$ 0 < r < r_{\mathrm{max}} = \sqrt{\frac{20}{\pi} } $$
(3) Następnie Pat i Mat podstawili otrzymane wyrażenie na $h$ do równania na objętość $V = \pi r^2 h $ i otrzymali $V$ jako funkcję samego $r$:
$$ V(r ) = \pi r^2 \left( \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} \right) = 10r − \frac{\pi r^3}{2}, $$
gdzie $r \in (0, r_{\mathrm{max}})$.
(4) Aby znaleźć maksimum funkcji, obliczyli jej pochodną:
$$ V'(r ) = 10 − \frac{3\pi r^2}{ 2} $$
Ustawili $V'(r ) = 0$ i rozwiązując otrzymane równanie, znaleźli:
$$ r_0 = \sqrt{\frac{20}{3\pi}} \doteq 1{,}46\,\mathrm{m} $$
i sprawdzili, że $r_0 \in (0, r_{\mathrm{max}}).$
(5) Następnie zweryfikowali, że w przedziale $(0, r_0)$, pochodna $V'(r)$ funkcji ciągłej $V(r)$ jest dodatnia, co oznacza, że funkcja $V(r)$ jest rosnąca na $(0,r_0 \rangle$. Ponadto w przedziale $\langle r_0,r_{\mathrm{max}})$ ,pochodna $V'(r)$ jest ujemna, więc funkcja $V(r)$ zmniejsza się na $\langle r_0,r_{\mathrm{max}})$. Oznacza to, że w punkcie $r_0$, funkcja $V(r)$ ma globalne maksimum na $(0, r_{\mathrm{max}})$. Zatem promień basenu o maksymalnej objętości wynosi $r_0$. Podstawienie $r_0$ do wyrażenia dla $h$:
$$ h = \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} , $$
Pat i Mat stwierdzili, że głębokość basenu wynosi ok. $h \doteq 1{,}46\,\mathrm{m}$, który jest równy jego promieniowi. Najwyraźniej wujek Pepin miał rację.
Czy Pat i Mat obliczyli wszystko poprawnie? Wybierz poprawną odpowiedź.
Cała procedura jest prawidłowa.
Nie. W kroku (1) wystąpił błąd. Relacja $V = \pi r^2 h$ jest nieprawidłowy. Powinno być $V = \pi r h^2$.
Nie. W kroku (2) wystąpił błąd. Zależność dla powierzchni basenu jest nieprawidłowa. Powinno być $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h $.
Nie. W kroku (3) wystąpił błąd. Powinno być $V(r ) = 10\pi r - \frac{r^3}{2}$.
Nie. Pochodna w kroku (4) jest nieprawidłowa.
Nie. W kroku (5) wystąpił błąd. Znaleziono minimum, a nie maksimum funkcji $V$.
Zależność objętości puli$V$ na promieniu $r$.
