Pat a Mat dostali darem $20\,\mathrm{m}^2$ malých kachliček vhodných k dláždění zaoblených ploch. Rozhodli se, že všechny kachličky použijí k vydláždění kruhového bazénu (tj. tvaru válce) o největším možném objemu. Pat navrhl bazén s malým průměrem, který bude hodně hluboký. Matovi však Patův nápad připomínal spíše studnu, a proto navrhl bazén s velkým průměrem, který však byl vzhledem k omezenému množství dlaždic velmi mělký. Kolemjdoucí strýc Pepin k tomu podotkl, že bazén s největším objemem bude ten, který má stejný průměr jako hloubku a že je primitivní to spočítat. To byla pro oba výzva, a tak se hned pustili do výpočtu.
(1) Pat uvažoval následnovně: Označíme-li $r$ poloměr bazénu a $h$ jeho hloubku, pak pro objem bazénu platí: $$ V = \pi r^2 h $$ Chceme, aby byl objem maximální. Budeme tedy hledat maximum funkce $V$, která však v tuto chvíli obsahuje dvě proměnné, $r$ a $h$.
(2) Mat si ovšem uvědomil, že mezi $r$ a $h$ existuje vazba, jelikož velikost plochy, kterou je třeba vydláždit, je přesně daná a rovna $20\,\mathrm{m}^2$. Tato plocha představuje povrch válce bez jedné podstavy, tj. $S = \pi r^2 + 2\pi r h $. Dostáváme tak rovnici: $$ 20 = \pi r^2 + 2\pi r h $$ která představuje onen vztah mezi $r$ a $h$. Z ní si vyjádříme $h$ v závislosti na $r$: $$ h = \frac{20−\pi r^2}{ 2\pi r} = \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} $$ Dále si Pat a Mat uvědomili, že $r $ a $h$ musí nabývat kladných hodnot, protože $r $ je poloměr bazénu a $h$ je jeho hloubka. Takže přidali podmínku: $$ \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} > 0, $$ tzn., $$ 0 < r < r_{\mathrm{max}} = \sqrt{\frac{20}{\pi} } $$
(3) Pat a Mat pak dosadili získaný výraz za $h$ do vztahu $V = \pi r^2 h $ a obdrželi funkci $V$ vyjadřující závislost objemu bazénu na jeho poloměru $r$: $$ V(r ) = \pi r^2 \left( \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} \right) = 10r − \frac{\pi r^3}{2}, $$ kde $r \in (0, r_{\mathrm{max}})$.
(4) Pro nalezení maxima této funkce spočítali její derivaci: $$ V'(r ) = 10 − \frac{3\pi r^2}{ 2} $$ Tu položili rovnu nule, příslušnou rovnici vyřešili a po úpravách obdrželi její řešení: $$ r_0 = \sqrt{\frac{20}{3\pi}} \doteq 1{,}46\,\mathrm{m} $$ a ověřili, že $r_0 \in (0, r_{\mathrm{max}}).$
(5) Pat a Mat se ještě přesvědčili, že na intervalu $(0, r_0)$ je derivace $V'(r)$ spojité funkce $V(r)$ kladná, a tedy funkce $V(r)$ roste v intervalu $(0,r_0 \rangle$, zatímco v intervalu $\langle r_0,r_{\mathrm{max}})$ je derivace $V'(r)$ záporná a funkce $V(r)$ tudíž v intervalu $\langle r_0,r_{\mathrm{max}})$ klesá. To ale znamená, že v nalezeném bodě $r_0$ má funkce $V(r)$ globální maximum na intervalu $(0, r_{\mathrm{max}})$, a nalezené $r_0$ je tedy hledaný poloměr bazénu. Dosazením za $r_0$ do vztahu pro $h$: $$ h = \frac{10}{\pi r} − \frac{r}{2} , $$ Pat a Mat zjistili, že hloubka bazénu je přibližně $h \doteq 1{,}46\,\mathrm{m}$, která je stejná jako jeho poloměr. Takže strýc Pepin měl jako vždy pravdu.
Počítali Pat a Mat správně? Vyberte správnou odpověď.
Ano. Postup je v pořádku.
Ne. V kroku (1) je chyba. Vztah $V = \pi r^2 h$ je nesprávný. Mělo by tam být $V = \pi r h^2$.
Ne. Chyba je v kroku (2). Vztah pro výpočet povrchu bazénu je špatně. Správný tvar je $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h $.
Ne. V kroku (3) je chyba. Mělo by tam být $V(r ) = 10\pi r - \frac{r^3}{2}$.
Ne. Derivace v kroku (4) je vyjádřena špatně.
Ne. Chybný je krok (5). Pat a Mat našli minimum, nikoliv maximum funkce $V$.
Na obrázku vidíme závislost objemu bazénu $V$ na jeho poloměru $r$.
