Adam musiał znaleźć postać trygonometryczną liczby zespolonej $\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}$.
W którym kroku swojego rozwiązania Adam popełnił błąd?
Rozwiązanie Adama:
(1) Adam przekształcił liczbę zespoloną do postaci algebraicznej. $$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=-1+\mathrm{i}\sqrt3$$
(2) Adam obliczył moduł liczby zespolonej. $$|-1+\mathrm{i}\sqrt3|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2$$
(3) Adam obliczył argument liczby zespolonej. $$\sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2}\implies\varphi=\frac{\pi}{3}$$
(4) Na koniec Adam zapisał liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej. $$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)$$
W kroku (1). Prawidłowe uproszczenie to
$$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=\frac{2+\mathrm{i}\sqrt3+6\mathrm{i}\sqrt3-9}{4-3}=-7+\mathrm{i}7\sqrt3.$$
W kroku (2). Prawidłowe uproszczenie to
$$|-1+\mathrm{i}\sqrt3|=\sqrt{-1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt2.$$
W kroku (3). Argument liczby zespolonej musi być rozwiązaniem układu równań $$\sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2}\wedge \cos\varphi=-\frac12.$$
Rozwiązaniem jest $\varphi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi;\ k\in\mathbb{Z}$.
Argumentem jest na przykład $\varphi=\frac{2\pi}{3}$.
W kroku (4). Prawidłowa reprezentacja to $$2\left(\sin\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\cos\frac{\pi}{3}\right).$$
$$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=-1+\mathrm{i}\sqrt3=2\left(\sin\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\cos\frac{2\pi}{3}\right)$$