Adán tenía que encontrar la forma trigonométrica del número complejo: $\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}$.
¿En qué paso de su solución ha cometido un error?
La solución de Adán:
(1) Adán ha convertido el número complejo en su forma binómica. $$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=-1+\mathrm{i}\sqrt3$$
(2) Adam ha calculado el módulo del número complejo. $$|-1+\mathrm{i}\sqrt3|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2$$
(3) Adán ha calculado el argumento del número complejo. $$\sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2}\implies\varphi=\frac{\pi}{3}$$
(4) Por último, Adán ha escrito el número complejo en forma trigonométrica. $$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)$$
En el paso (1). La simplificación correcta es:
$$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=\frac{2+\mathrm{i}\sqrt3+6\mathrm{i}\sqrt3-9}{4-3}=-7+\mathrm{i}7\sqrt3.$$
En el paso (2). El cálculo correcto es: $$|-1+\mathrm{i}\sqrt3|=\sqrt{-1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt2.$$
En el paso (3). El argumento del número complejo debe ser una solución del sistema de ecuaciones $$\sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2}\wedge \cos\varphi=-\frac12.$$
Las soluciones son $\varphi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi;\ k\in\mathbb{Z}$.
EL argumento, por ejemplo, es $\varphi=\frac{2\pi}{3}$.
En el paso (4). La representación correcta es $$2\left(\sin\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\cos\frac{\pi}{3}\right).$$
$$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=-1+\mathrm{i}\sqrt3=2\left(\sin\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\cos\frac{2\pi}{3}\right)$$