Adam měl komplexní číslo $\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}$ vyjádřit v goniometrickém tvaru.
Ve kterém kroku svého řešení udělal Adam chybu?
Adamovo řešení:
(1) Adam upravil komplexní číslo na algebraický tvar. $$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=-1+\mathrm{i}\sqrt3$$
(2) Adam spočítal absolutní hodnotu čísla. $$|-1+\mathrm{i}\sqrt3|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2$$
(3) Adam spočítal argument komplexního čísla. $$\sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2}\implies\varphi=\frac{\pi}{3}$$
(4) Nyní už Adam zapsal komplexní číslo v goniometrickém tvaru. $$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)$$
V kroku (1). Správná úprava je
$$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=\frac{2+\mathrm{i}\sqrt3+6\mathrm{i}\sqrt3-9}{4-3}=-7+\mathrm{i}7\sqrt3.$$
V kroku (2). Správný výpočet je
$$|-1+\mathrm{i}\sqrt3|=\sqrt{-1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt2.$$
V kroku (3). Argument komplexního čísla musí být řešením soustavy rovnic $$\sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2}\wedge \cos\varphi=-\frac12.$$
Řešení jsou $\varphi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi;\ k\in\mathbb{Z}$.
Argumentem je třeba $\varphi=\frac{2\pi}{3}$.
V kroku (4). Správný zápis je $$2\left(\sin\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\cos\frac{\pi}{3}\right).$$
$$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=-1+\mathrm{i}\sqrt3=2\left(\sin\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\cos\frac{2\pi}{3}\right)$$