$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}$

Project ID: 
3000000019
SubArea: 
Algebrický a goniometrický tvar komplexného čísla
Question: 

Adam mal nájsť goniometrický tvar komplexného čísla $\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}$.

V ktorom kroku riešenia urobil Adam chybu?

Adamovo riešenie:

(1) Adam previedol komplexné číslo na jeho algebraický tvar. $$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=-1+\mathrm{i}\sqrt3$$

(2) Adam vypočítal absolútnu hodnotu komplexného čísla. $$|-1+\mathrm{i}\sqrt3|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2$$

(3) Adam vypočítal argument komplexného čísla. $$\sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2}\implies\varphi=\frac{\pi}{3}$$

(4) Nakoniec Adam zapísal komplexné číslo v goniometrickom tvare. $$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

Answer 1: 

V kroku (1). Správne zjednodušenie je

$$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=\frac{2+\mathrm{i}\sqrt3+6\mathrm{i}\sqrt3-9}{4-3}=-7+\mathrm{i}7\sqrt3.$$

Answer 2: 

V kroku (2). Správny výpočet je $$|-1+\mathrm{i}\sqrt3|=\sqrt{-1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt2.$$

Answer 3: 

V kroku (3). Argument komplexného čísla musí byť riešením sústavy rovníc $$\sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2}\wedge \cos\varphi=-\frac12.$$

Riešenia sú $\varphi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi;\ k\in\mathbb{Z}$.

Argument je napríklad $\varphi=\frac{2\pi}{3}$.

Answer 4: 

V kroku (4). Správny zápis je $$2\left(\sin\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\cos\frac{\pi}{3}\right).$$

Fixed Answer: 
All Fixed
Correct Answer: 
Answer 3
Hint: 

$$\frac{1+3\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\frac{(1+3\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}{(2-\mathrm{i}\sqrt3)(2+\mathrm{i}\sqrt3)}=-1+\mathrm{i}\sqrt3=2\left(\sin\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\cos\frac{2\pi}{3}\right)$$