Matice a determinanty

2000019302

Část: 
A
Tři zmrzlinové stánky firmy ICE hlásily za červenec prodej porcí jednotlivých druhů zmrzliny. Údaje jsou uvedeny v následující tabulce: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\text{vanilka} & \text{čokoláda} & \text{oříšek} & \text{jahoda} \\\hline \text{Stánek 1}& 720 & 800 & 1\,200&360 \\\hline \text{Stánek 2} & 550 & 434 & 900 & 300 \\\hline \text{Stánek 3} &610 &300 & 200 & 750 \\\hline \end{array}\] Zisk z prodeje jednoho kopečku zmrzliny v závislosti na jejím druhu (v korunách) vyjadřuje matice \( P= \left (\array{ 1\cr 1\cr 3\cr 2\cr } \right ) \). Matici příslušnou prodeji za červenec označme písmenem \(J\). Která matice vyjadřuje celkový zisk jednotlivých stánků firmy ICE za červenec?
\(J\cdot P\)
\(P \cdot J\)
\(J +P\)
Zisk nelze určit žádnou operací s maticemi.

2000019303

Část: 
A
Tři zmrzlinové stánky firmy ICE hlásily za červenec prodej porcí jednotlivých druhů zmrzliny. Údaje jsou uvedeny v následující tabulce: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\text{vanilka} & \text{čokoláda} & \text{oříšek} & \text{jahoda} \\\hline \text{Stánek 1}& 720 & 800 & 1\,200&360 \\\hline \text{Stánek 2} & 550 & 434 & 900 & 300 \\\hline \text{Stánek 3} &610 &300 & 200 & 750 \\\hline \end{array}\] Zisk z prodeje jednoho kopečku zmrzliny v závislosti na jejím druhu (v korunách) vyjadřuje matice \( P= \left (\array{ 1\cr 1\cr 3\cr 2\cr } \right ) \). Odhadněte, jaký zisk měla firma ICE za červenec ze všech tří stánků.
více než \(12\,000\,\mathrm{CZK}\)
mezi \(9\,000\,\mathrm{CZK}\) a \(12\,000\,\mathrm{CZK}\)
mezi \(6\,000\,\mathrm{CZK}\) a \(9\,000\,\mathrm{CZK}\)
méně než \(6\,000\,\mathrm{CZK}\)

2000019304

Část: 
A
Adamova maminka (AM) a Petrova maminka (PM) se předhánějí v tom, která umí nakupovat levněji. Na letní víkend chtějí obě nakoupit máslo, cukr, mouku a vanilkový cukr. K dispozici mají dva obchody Aha a Praha. \[~\] Následující tabulky vyjadřují, kolik kusů jednotlivých surovin mají maminky v plánu nakoupit a ceny v obchodech Aha a Praha. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\begin{gathered}\text{Máslo}\\\text{(kg)}\end{gathered} &\begin{gathered}\text{Cukr}\\\text{(kg)}\end{gathered} &\begin{gathered}\text{Mouka}\\\text{(kg)}\end{gathered} &\begin{gathered}\text{Vanilkový cukr}\\\text{(počet sáčků)}\end{gathered}\\\hline \text{AM}& 0{,}5& 2&1&8 \\\hline \text{PM}& 0{,}25 &2&2&5 \\\hline \end{array}\] \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline &\mathrm{Aha} & \mathrm{Praha}\\\hline \text{Máslo (za }1\,\mathrm{kg)}& 119{,}6\,\mathrm{CZK}& 159{,}6\,\mathrm{CZK} \\\hline \text{Cukr (za }1\,\mathrm{kg)} & 12{,}5\,\mathrm{CZK}& 9{,}9\,\mathrm{CZK} \\\hline \text{Mouka (za }1\,\mathrm{kg)} & 10{,}9\,\mathrm{CZK} & 9{,}5\,\mathrm{CZK} \\\hline \text{Vanilkový cukr (za }\mathrm{kus)} & 5{,}9\,\mathrm{CZK} & 5{,}1\,\mathrm{CZK} \\\hline \end{array}\] Co vyplývá z následujícího součinu matic? \[ \left (\array{ 0{,}5& 2 & 1 & 8\cr 0{,}25& 2 & 2 & 5\cr } \right ) \cdot \left (\array{ 119{,}6& 159{,}6 \cr 12{,}5& 9{,}9 \cr 10{,}9& 9{,}5 \cr 5{,}9& 5{,}1 \cr } \right ) = \left (\array{ 142{,}9& 149{,}9\cr 106{,}2& 104{,}2 \cr } \right ) \]
Pro Adamovu maminku je výhodnější nákup v obchodě Aha, pro Petrovu maminku je výhodnější nákup v obchodě Praha.
Pro Adamovu maminku je výhodnější nákup v obchodě Praha, pro Petrovu maminku je výhodnější nákup v obchodě Aha.
Pro obě maminky je výhodnější nákup v obchodě Aha.
Pro obě maminky je výhodnější nákup v obchodě Praha.

2000019305

Část: 
A
Pan Moudrý jezdí pro palivo na tři různé čerpací stanice MOL, Shell a EuroOil. Pokaždé koupí \(25\) litrů nafty, cafe latte a \(2\) nugátové croissanty. \[~\] Ceny v CZK: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\text{Nafta (}1~\text{litr)} &1~\text{Cafe Latte}&1~\text{Croissant}\\\hline \text{MOL}& 31{,}20& 57&16{,}90\\\hline \text{Shell}& 27{,}20 &52 &20 \\\hline \text{EuroOil}& 29{,}60 &49 &18{,}20 \\\hline \end{array}\] Uvažujme následující součin dvou matic: \[ \left (\array{ 31{,}20& 57 & 16{,}90 \cr 27{,}20& 52 & 20 \cr 29{,}60& 49 & 18{,}20 \cr } \right ) \cdot \left (\array{ 25 \cr 1 \cr 2 \cr } \right ) \] Vyberte tvrzení, které NENÍ pravdivé.
Nejvýhodnější je nákup na čerpací stanici MOL.
Nejvýhodnější je nákup na čerpací stanici Shell.
Nejméně výhodný je nákup na čerpací stanici MOL.

2010006701

Část: 
A
Je dána matice \(A\). Vyberte správné tvrzení. \[ A = \left (\array{ 2& 4 & -3& 7\cr 9 & -5 & -1 & 8 \cr 11& 0 & 8& 12 \cr -7 & -8 & 1& 13 \cr 9& 10 & -6& 2 } \right ) \]
Matice \(A\) je typu \(5\times 4\) a prvek \(a_{(2,\, 3)} = -1\).
Matice \(A\) je typu \(5\times 4\) a prvek \(a_{(2,\, 3)} = 0\).
Matice \(A\) je typu \(4\times 5\) a prvek \(a_{(2,\, 3)} = 0\).
Matice \(A\) je typu \(4\times 5\) a prvek \(a_{(2,\, 3)} = -1\).

9000019903

Část: 
A
Je dána matice \(A\). Vyberte správné tvrzení. \[ A = \left (\array{ -2& 3 & 10& 5 & -5\cr 6 & 11 & -7 & 2 & -3 \cr -7& 15& -6& 2 & 4\cr -8 & 1 & 13 & -5 & 0 } \right ) \]
Matice je typu \((4,\, 5)\) a prvek \(a_{(3,\, 2)} = 15\).
Matice je typu \((4,\, 5)\) a prvek \(a_{(2,\, 3)} = 15\).
Matice je typu \((5,\, 4)\) a prvek \(a_{(3,\, 2)} = -7\).
Matice je typu \((5,\, 4)\) a prvek \(a_{(3,\, 2)} = 15\).

2000017101

Část: 
B
Určete, pro která reálná čísla \(b\) existuje inverzní matice k matici: \[ \left (\array{ 4& 3 & b\cr 2 & 1 & 2 \cr b& b & -1 } \right ) \]
pro všechna reálná čísla
pro všechna nezáporná reálná čísla
pro všechna kladná reálná čísla
Takové číslo neexistuje.

2000017102

Část: 
B
Vypočítejte matici inverzní k matici: \[ \left (\array{ 4& 3 & 0\cr 2 & 1 & 2 \cr 0& 0 & -1 } \right ) \]
\[ \left (\array{ -\frac12& \frac32 & 3\cr 1 & -2 & -4 \cr 0& 0 & -1 } \right ) \]
\[ \left (\array{ \frac12& \frac32 & 3\cr 1 & -2 & -4 \cr 0& 0 & 1 } \right ) \]
\[ \left (\array{ -\frac12& \frac32 & -3\cr -1 & -2 & -4 \cr 0& 0 & -1 } \right ) \]
\[ \left (\array{ -\frac12& \frac32 & 3\cr 1 & 2 & -4 \cr 0& 0 & -1 } \right ) \]

2000017103

Část: 
B
Vypočítejte matici inverzní k matici: \[ \left (\array{ 1& 0 & 0\cr 0 & 1 & 1 \cr -1& 0 & 1} \right ) \]
\[ \left (\array{ 1& 0 & 0\cr -1 & 1 & -1 \cr 1& 0 & 1 } \right ) \]
\[ \left (\array{ 1& 0 & 0\cr 1 & 1 & 1 \cr 1& 0 & 1 } \right ) \]
\[ \left (\array{ 1& 0 & 0\cr 1 & 1 & 1 \cr -1& 0 & -1 } \right ) \]
\[ \left (\array{ -1& 0 & 0\cr -1 & 1 & -1 \cr 1& 0 & -1 } \right ) \]

2000017104

Část: 
B
Určete, pro které číslo \(a\) budou uvedené matice navzájem inverzními maticemi. \[ \left (\array{ 1& 2 \cr 2 & 2 \cr} \right ), ~ \left (\array{ -1& 1 \cr 1 & a \cr} \right ) \]
\(a=-\frac12\)
\(a=\frac12\)
\(a=0\)
\(a\) nelze určit.