Exponenciálne rovnice a nerovnice

200001604

Časť: 
B
Nech \( A= \left\{ x \in \mathbb{R}\colon \left(\frac{\sqrt{2}}2\right)^{5x} < 8 \cdot 4^{3-2x}\right\}\) a \( B=\{x \in \mathbb{R}\colon 2^x-4\cdot 2^{-x}>3\}\). Nájdi \(A \cap B\).
\(A \cap B=(2;6)\)
\(A \cap B=(-\infty;-1)\cup(4;6)\)
\(A \cap B=(-\infty;-1)\cup(2;6)\)

2000010606

Časť: 
B
Pre ktoré hodnoty parametra \(p\) je exponenciálna funkcia \(f(x)=(p^2-4p+3)^x\) rastúca?
\(p \in \left(-\infty;2-\sqrt{2}\right) \cup \left(2+\sqrt{2};\infty\right)\)
\(p \in \left(2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}\right)\)
\(p \in \left(2-\sqrt{2};1\right) \cup \left(3;2+\sqrt{2}\right)\)

2000010605

Časť: 
C
Pacient užil \(50\ \mathrm{mg}\) istého lieku. V priebehu \(3\) hodín vylúčil z tela \(40\%\) tohoto množstva. Množstvo \(m\) (v mg) lieku, ktoré zostane v tele po uplynutí času \(t\) (v hodinách) sa dá vyjadriť rovnicou \(m(t)=m_0a^t\), kde \(m_0\) (mg) je pôvodné množstvo lieku a \(a\) je konštanta. Vypočítajte, aké množstvo lieku zostalo v tele pacienta po \(12\) hodinách.
\(6{,}48\ \mathrm{mg}\)
\(1{,}28\ \mathrm{mg}\)
\(4{,}8\ \mathrm{mg}\)

2000010604

Časť: 
C
Z pôvodných \(320\ \mathrm{mg}\) rádioaktívneho prvku zostalo po \(20\) dňoch \(10\ \mathrm{mg}\). Vypočítajte polčas rozpadu \(T\) (v dňoch) tohto prvku, ak viete, že závislosť hmotnosti \(m\) (v mg) na čase \(t\) (v dňoch) je daná rovnicou \(m(t)=m_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{T}}\), kde \(m_0\) (mg) je pôvodná hmotnosť.
\(T=4\)
\( T=32\)
\( T=16\)

2000010603

Časť: 
B
Nájdite súradnice priesečníka grafov funkcií \( f(x)=\left(\frac35\right)^x\) a \(g(x)=\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^{x-1}\).
\( \left[-1;\frac53\right]\)
\( \left[-3;\frac{25}9\right]\)
Graf funkcií \(f\) a \(g\) nemajú žiaden spoločný priesečník.

2000010601

Časť: 
C
Graf funkcie \(f(x)=a^x+b~\) ( \(a>0\), \(a\neq1\) ) bol posunutý o \(4\) jednotky doprava a o dve jednotky dole. Posunutý graf pretína os \(x\) v bode \([4;0]\) a prechádza cez bod \([8;3]\). Nájdite \(a\) a \(b\) a vyriešte nerovnosť \(f(x)\leq 5\).
\( a=\sqrt{2}\), \(b=1\), \( x \in ( -\infty;4\rangle\)
\( a=\sqrt[4]{3}\), \(b=2\), \( x \in ( -\infty;4\rangle\)
\( a=\sqrt{2}\), \(b=-4\), \( x \in ( -\infty;9\rangle\)