Úloha: V knižnici sú police plné kníh rôznych žánrov. Ak je v knižnici $6$ detektívok, $5$ sci-fi kníh a $4$ romány, koľkými spôsobmi môžeme vybrať $3$ knihy tak, aby aspoň dve knihy boli rôznych žánrov? Hankino riešenie:
(1) Hanka najprv vypočítala počet možností, ako vybrať tri knihy bez ohľadu na žáner. V policiach je spolu $15$ kníh. Počet možností teda určila ako počet $3$ členných variácií z množiny $15$ kníh, tj., $$15\cdot14\cdot13=2\ 730.$$
(2) Uvedomila si však, že tento počet zahŕňa aj možnosti, pri ktorých sú všetky tri knihy rovnakého žánru. - (a) Pre detektívky, ktorých je v policiach spolu $6$ je ${6\choose3}=20$ takýchto možností. - (b) Pre sci-fi knihy, ktorých je spolu $5$ je ${5\choose3}=10$ možností. - (c) Pre romány, ktoré sú v policiach $4$ je ${4\choose3}=4$ možností, ako si vybrať tri.
(3) Hanka od celkového počtu možností pre trojicu kníh odpočítala možnosti obsahujúce knihy rovnakého žánru, čím získala počet možností, ako si vybrať tri knihy tak, aby aspoň $2$ boli rôznych žánrov: $$2\,730-20-10-4=2\,696$$ Urobila Hanka vo svojej úvahe chybu? Ak áno, nájdite ju!
Hanka urobila chybu v kroku (1). Pri výbere kníh na poradí nezáleží. Správne mala určiť počet možností výberu troch kníh ako počet $3$ členných kombinácií z $15$ kníh, t.j. ${15\choose 3}=455$. Výsledný počet spôsobov je teda: $455-20-10-4=421$.
Hanka urobila prvú chybu v kroku (2a). Počet možností výberu troch kníh detektívneho žánru mala vypočítať ako počet $3$ členných variácií zo $6$ kníh, t. j. $6\cdot5\cdot4=120$. V krokoch (2b) a (2c) mala tiež použiť variácie. Výsledný počet možností by teda mal byť: $$2\,730-120-60-24=2\,526$$
Hanka urobila chybu v kroku (3). Mala odčítať súčin počtu kníh rovnakého žánru: $$2\,730-20\cdot10\cdot4=1\,930$$
Hanka sa vo svojich výpočtoch nepomýlila.