Úloha: V knihovně jsou police plné různých knih různých žánrů. Pokud v knihovně máme $6$ detektivních knih, $5$ sci-fi knih a $4$ romány, kolika způsoby můžeme vybrat $3$ knihy tak, aby alespoň dvě knihy byly navzájem odlišného žánru?
Řešení Hany:
(1) Hana nejprve spočítala, kolika způsoby může vybrat z polic trojici knih bez ohledu na žánr. Celkem je v policích $15$ knih. Počet způsobů tedy určila jako počet $3$členných variací z množiny $15$ knih, tj., $$15\cdot14\cdot13=2\,730.$$
(2) Uvědomuje si však, že se v možnostech objevují i kombinace se všemi knihami stejného žánru.
- (a) Pro detektivní knihy, kterých je v policích celkem $6$, je takových možností ${6\choose 3}=20$.
- (b) Pro sci-fi knihy, kterých je $5$, je takových možností ${5\choose3}=10$.
- (c) Romány jsou v policích $4$, existují tedy ${4\choose3}=4$ způsoby, jak vybrat trojici románů.
(3) Hana od celkového počtu výběrů trojic knih odečetla výběry obsahující knihy stejného žánru, a tím dostala počet způsobů výběru tří knih tak, aby alespoň $2$ byly jiného žánru: $$2\,730-20-10-4=2\,696$$
Udělala Hana ve svých úvahách chybu? Pokud ano, najděte ji!
Hana udělala první chybu v kroku (1). Při výběru knih nezáleží na pořadí, správně měla určitě počet způsobů výběru jako počet $3$členných kombinací z $15$ knih, tj. ${15\choose 3}=455$. Tři knihy tedy můžeme vybrat $$455-20-10-4=421$$ způsoby.
Hana udělala první chybu v kroku (2a). Počet tří detektivních knih měla počítat jako počet 3členných variací, tj. $6\cdot5\cdot4=120$. Stejně tak měla použít variace i v krocích (2b) a (2c). Tři knihy tedy můžeme vybrat $$2\,730-120-60-24=2\,526$$ způsoby.
Hana udělala chybu až v kroku (3). Odečíst je třeba součin počtů knih stejného žánru: $$2\,730-20\cdot10\cdot4=1\,930$$
Hana neudělala při výpočtu žádnou chybu.