Zadanie: W bibliotece półki wypełnione są książkami z różnych gatunków. Jeśli biblioteka ma $6$ książek detektywistycznych, $5$ książek sci-fi i $4$ powieści, na ile sposobów możemy wybrać $3$ książki w taki sposób, że co najmniej dwie książki należą do różnych gatunków? Rozwiązanie Hany:
(1) Hana najpierw obliczyła liczbę sposobów na wybranie trzech książek bez względu na gatunek. W sumie jest ich $15$ książek na półkach. Określiła liczbę sposobów jako liczbę $3$-permutacji ze zbioru $15$ książek, tj, $$15\cdot14\cdot13=2\,730.$$
(2)Zdała sobie jednak sprawę, że liczba ta obejmuje również wybory, w których wszystkie trzy książki należą do tego samego gatunku.
- (a)W przypadku książek detektywistycznych, których jest łącznie $6$na półkach znajdują się ${6\choose 3}=20$takich wyborów.
- (b)W przypadku książek science-fiction, z łączną liczbą $5$ książek, są ${5\choose3}=10$ wybory.
- (c)W przypadku liczby powieści $4$ na półkach znajdują się ${4\choose3}=4$ sposobów na wybranie trzech.
(3) Hana odjęła wybory zawierające książki tego samego gatunku od całkowitej liczby wyborów dla trójek książek, uzyskując w ten sposób liczbę sposobów na wybranie trzech książek takich, że co najmniej $2$ należą do różnych gatunków: $$2\,730-20-10-4=2\,696$$ Czy Hana popełniła błąd w swoim rozumowaniu? Jeśli tak, znajdź go!
Hana popełniła błąd w kroku (1). Przy wyborze książek kolejność nie ma znaczenia. Prawidłowo powinna była określić liczbę sposobów wyboru trzech książek jako liczbę $3$-kombinacje z $15$ książki, tj., ${15\choose 3}=455$. Wynikowa liczba sposobów wynosi zatem: $$455-20-10-4=421$$
Hana popełniła pierwszy błąd w kroku (2a). Liczba wyborów trzech książek z gatunku detektywistycznego powinna była zostać obliczona jako liczba $3$-permutacji z $6$ książek, tj, $6\cdot5\cdot4=120$. Powinna była użyć $k$-permutacje w krokach (2b) oraz (2c) również. Zatem wynikowa liczba sposobów powinna wynosić: $$2\,730-120-60-24=2\,526$$
Hana popełniła błąd w kroku (3). Powinna była odjąć iloczyn liczb książek tego samego gatunku: $$2\,730-20\cdot10\cdot4=1\,930$$
Hana nie pomyliła się w swoich obliczeniach.