Tarea: En la biblioteca, las estanterías están llenas de libros de diferentes géneros. Si la biblioteca tiene $6$ libros de detectives, $5$ de ciencia ficción, y $4$ novelas, ¿de cuántas formas podemos elegir $3$ libros de manera al menos dos libros sean de diferentes géneros?
Solución de Hana:
(1) Hana calculó primero el número de formas de elegir tres libros sin tener en cuenta su género. Hay un total de $15$ libros en las estanterías. Determinó el número de formas diferentes como el número de variaciones de $3$ elementos del conjunto de los $15$ libros, i.e., $$15\cdot14\cdot13=2\,730.$$
(2) Sin embargo, se dio cuenta de que este número también incluye las opciones de que los tres libros sean del mismo género. - (a) Para los libros de detectives, de los que hay un total de $6$ en las estanterías, hay ${6\choose 3}=20$ diferentes elecciones. - (b) Para los libros de ciencia ficción, con un total de $5$ ejemplares, hay ${5\choose3}=10$ elecciones. - (c) Para las novelas, contando $4$ en las estanterías, hay ${4\choose3}=4$ formas de elegir tres.
(3) Hana restó las elecciones que contenían libros del mismo género del número total de elecciones de tríos de libros, obteniendo así el número de formas de elegir tres libros de manera que al menos $2$ sean de géneros distintos: $$2\,730-20-10-4=2\,696$$ ¿Cometió Hana algún error en su razonamiento? En caso afirmativo, ¡encuéntralo!
Hana cometió un error en el paso (1). Al elegir los libros, el orden no importa. Debería haber determinado el número de formas de elegir tres libros como el número de combinaciones de $3$ elementos entre el total de $15$ libros, i.e., ${15\choose 3}=455$. Entonces, el número de formas distintas es: $$455-20-10-4=421$$
Hana cometió un error en el paso (2a). El número de elecciones de tres libros de detectives debería haberse calculado como el número de variaciones de $3$ elementos dentro de $6$ libros, i.e., $6\cdot5\cdot4=120$. Debería haber usado las variaciones de $k$ elementos en los pasos (2b) y (2c). Entonces, el resultado debería haber sido: $$2\,730-120-60-24=2\,526$$
Hana cometió un error en el paso (3). Debería haber restado el producto de los números de libros del mismo género: $$2\,730-20\cdot10\cdot4=1\,930$$
Hana no cometió ningún error en su cálculo.