Milan riešil rovnicu s kombinačnými číslami:
$${x \choose 2}+{x-1 \choose 2}=4$$
pre $x\in\mathbb{N}$ takto:
(1) Najprv podľa vzorca ${n \choose k}=\frac{n!}{k!⋅(n-k)!}$ Milan previedol kombinačné čísla v rovnici na zlomky.
$$\frac{x!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(2) V obidvoch zlomkoch upravil výrazy s faktoriálmi, aby ich mohol krátiť. $$\frac{(x-1)\cdot(x-2)!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-2)\cdot(x-3)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(3) Prvý zlomok krátil výrazom $(x-2)!$ a druhý výrazom $(x-3)!$.
$$\frac{x-1}{2!}+\frac{x-2}{2!}=4$$
(4) Obe strany rovnice vynásobil číslom $2! = 2$.
$$(x-1)+(x-2)=8$$
(5) Milan odstránil zátvorky a rovnicu zjednodušil do základného tvaru. $$\begin{aligned} 2x -3&=8\cr 2x&=11\cr x&=5{,}5 \end{aligned}$$
(6) Riešením rovnice je číslo $5{,}5$, ktoré nie je prirodzené číslo, $5{,}5\notin\mathbb{N}$. Preto je $K=\emptyset$.
Urobil Milan pri výpočte chybu? Ak áno, určte kde.
Milan neurobil chybu a príklad vyriešil správne.
Prvnú chybu Milan urobil pri rozklade výrazu s faktoriálmi v kroku (2). Platí: $$\begin{aligned} x!&=x\cdot(x-1)\cdot(x-2)!\cr (x-1)!&=(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)! \end{aligned}$$
Milan urobil prvú chybu pri zjednodušovaní zlomkov v kroku (3). Rovnicu mal upraviť takto:
$$\frac{(x-1)\cdot(x-2)}{2!}+\frac{(x-2)\cdot(x-3)}{2!}=4$$
Milan urobil prvú chybu v kroku (4). Platí $2!=4$, takže rovnica mala byť upravená takto: $$(x-1)+(x-2)=16$$
V kombinačných číslach sa môžu vyskytovať desatinné čísla a riešením rovnice je nájdené číslo $5{,}5$. Milan urobil chybu len v poslednom kroku (6).
(1) Najprv podľa vzorca ${n \choose k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$ prevedieme kombinačné čísla v rovnici na zlomky.
$$\frac{x!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(2) V obidvoch zlomkoch upravíme výrazy s faktoriálmi, aby sme ich mohli krátiť.
$$\frac{x\cdot(x-1)\cdot(x-2)!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(3) Prvý zlomok skrátime výrazom $(x-2)!$ a druhý výrazom $(x-3)!$.
$$\frac{x\cdot(x-1)}{2!}+\frac{(x-1)\cdot(x-2)}{2!}=4$$
(4) Obe strany rovnice vynásobíme $2! = 2$.
$$x\cdot(x-1)+(x-1)\cdot(x-2)=8$$
(5) Potom odstránime zátvorky a kvadratickú rovnicu zjednodušíme na základný tvar.
$$\begin{aligned} x^2-x+x^2-3x+2&=8\cr 2x^2-4x-6&=0\cr x^2-2x-3&=0\cr \end{aligned}$$
(6) Riešime kvadratickú rovnicu.
$$D=b^2-4ac=4+12=16$$ $$n_1,\ n_2=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm4}{2}$$ $$n_1=3,\ n_2=-1$$
(7) Pre kombinačné číslo ${n \choose k}$ musí platiť:
- $n\in\mathbb{N}$,
- $k\in\mathbb{N}\cup\left{0\right}$,
- $n\geq k$.
t. j. v našom prípade:
- $x\in\mathbb{N}$,
- $\left.\begin{aligned} &x\geq2\cr &x-1\geq2\Rightarrow x\geq3)\end{aligned}\right} x\geq3$
Preto z množiny riešení vylúčime číslo $-1$. $$K=\left{3\right}$$