Milan řešil rovnici s kombinačními čísly:
$${x \choose 2}+{x-1 \choose 2}=4$$
pro $x\in\mathbb{N}$, takto:
(1) Nejprve Milan podle vzorce ${n \choose k}=\frac{n!}{k!⋅(n-k)!}$ převedl kombinační čísla v rovnici na zlomky.
$$\frac{x!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(2) U obou lomených výrazů rozložil výrazy s faktoriály tak, aby je mohl krátit. $$\frac{(x-1)\cdot(x-2)!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-2)\cdot(x-3)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(3) Zkrátil první zlomek výrazem $(x-2)!$ a druhý výrazem $(x-3)!$.
$$\frac{x-1}{2!}+\frac{x-2}{2!}=4$$
(4) Obě strany rovnice vynásobil číslem $2! = 2$.
$$(x-1)+(x-2)=8$$
(5) Odstranil závorky a upravil rovnici do základního tvaru.
$$\begin{aligned} 2x -3&=8\cr 2x&=11\cr x&=5{,}5 \end{aligned}$$
(6) Řešením rovnice je číslo $5{,}5$, které neleží v množině přirozených čísel, $5{,}5\notin\mathbb{N}$. Proto $K=\emptyset$.
Udělal Milan při výpočtu chybu? Pokud ano, určete kde.
Milan neudělal chybu a příklad vyřešil správně.
První chybu Milan udělal při rozkladu výrazů s faktoriály v kroku (2). Správně platí
$$\begin{aligned} x!&=x\cdot(x-1)\cdot(x-2)!\cr (x-1)!&=(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)! \end{aligned}$$
První chybu udělal při krácení zlomků v kroku (3). Rovnice měla po úpravě vypadat takto:
$$\frac{(x-1)\cdot(x-2)}{2!}+\frac{(x-2)\cdot(x-3)}{2!}=4$$
Milan udělal první chybu při výpočtu kroku (4). Platí, že $2!=4$, takže by rovnice měla po úpravě vypadat takto:
$$(x-1)+(x-2)=16$$
V kombinačním čísle se mohou vyskytovat desetinná čísla, řešením rovnice je nalezené číslo $5{,}5$. Milan tak udělal chybu až v posledním kroku (6).
(1) Podle vzorce ${n \choose k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$ převedeme kombinační čísla v rovnici na zlomky.
$$\frac{x!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(2) U obou lomených výrazů rozložíme výrazy s faktoriály tak, abychom je mohli krátit.
$$\frac{x\cdot(x-1)\cdot(x-2)!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(3) Zkrátíme první zlomek výrazem $(x-2)!$ a druhý výrazem $(x-3)!$.
$$\frac{x\cdot(x-1)}{2!}+\frac{(x-1)\cdot(x-2)}{2!}=4$$
(4) Obě strany rovnice vynásobíme číslem $2! = 2$.
$$x\cdot(x-1)+(x-1)\cdot(x-2)=8$$
(5) Odstraníme závorky a upravíme kvadratickou rovnici do základního tvaru. $$\begin{aligned} x^2-x+x^2-3x+2&=8\cr 2x^2-4x-6&=0\cr x^2-2x-3&=0\cr \end{aligned}$$
(6) Vyřešíme kvadratickou rovnici..
$$D=b^2-4ac=4+12=16$$ $$n_1,\ n_2=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm4}{2}$$ $$n_1=3,\ n_2=-1$$
(7) Pro kombinační číslo ${n \choose k}$ musí platit, že:
- $n\in\mathbb{N}$,
- $k\in\mathbb{N}\cup\left{0\right}$,
- $n\geq k$.
tj. v našem případě:
- $x\in\mathbb{N}$,
- $\left.\begin{aligned} &x\geq2\cr &x-1\geq2\Rightarrow x\geq3)\end{aligned}\right} x\geq3$
Číslo $-1$ vyloučíme z množiny řešení.
$$K=\left{3\right}$$