Milan rozwiązał równanie o współczynnikach dwumianowych:.
$${x \choose 2}+{x-1 \choose 2}=4$$
dla $x\in\mathbb{N}$, w następujący sposób:
(1) Najpierw, zgodnie ze wzorem ${n \choose k}=\frac{n!}{k!⋅(n-k)!}$ , Milan przekształcił współczynniki dwumianowe w równaniu na ułamki.
$$\frac{x!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(2) W obu ułamkach wyodrębnił wyrażenia czynnikowe, aby móc je później anulować. $$\frac{(x-1)\cdot(x-2)!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-2)\cdot(x-3)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(3) Wykreślił wspólne wyrazy w pierwszym ułamku używając $(x-2)!$ i w drugim ułamku używając $(x-3)!$.
$$\frac{x-1}{2!}+\frac{x-2}{2!}=4$$
(4) Pomnożył obie strony równania przez $2! = 2$.
$$(x-1)+(x-2)=8$$
(5) Milan usunął nawiasy i uprościł równanie do standardowej postaci. $$\begin{aligned} 2x -3&=8\cr 2x&=11\cr x&=5{,}5 \end{aligned}$$
(6) Rozwiązaniem równania jest liczba $5{,}5$, która nie jest liczbą całkowitą, $5{,}5\notin\mathbb{N}$. Zatem $K=\emptyset$.
**Czy Milan popełnił błąd podczas obliczeń? Jeśli tak, określ gdzie.
Milan nie popełnił błędu i poprawnie rozwiązał problem.
Milan popełnił pierwszy błąd podczas faktoryzacji wyrażeń czynnikowych w kroku (2). Jest ono prawdziwe:
$$\begin{aligned} x!&=x\cdot(x-1)\cdot(x-2)!\cr (x-1)!&=(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)! \end{aligned}$$
Milan popełnił pierwszy błąd podczas upraszczania ułamków w kroku (3). Równanie należało zmodyfikować w następujący sposób:
$$\frac{(x-1)\cdot(x-2)}{2!}+\frac{(x-2)\cdot(x-3)}{2!}=4$$
Milan popełnił pierwszy błąd w kroku (4). Utrzymuje $2!=4$, więc równanie powinno zostać zmodyfikowane w następujący sposób: $$(x-1)+(x-2)=16$$
We współczynnikach dwumianu mogą występować liczby dziesiętne, a rozwiązaniem równania jest znaleziona liczba $5{,}5$. Milan popełnił błąd tylko w ostatnim kroku (6).
(1) Po pierwsze, zgodnie ze wzorem ${n \choose k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$ zamieniamy współczynniki dwumianowe w równaniu na ułamki.
$$\frac{x!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(2) W przypadku obu ułamków, należy rozłożyć je na czynniki pierwsze, aby móc je później anulować.
$$\frac{x\cdot(x-1)\cdot(x-2)!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(3) Anulujemy wspólne wyrazy w pierwszym ułamku używając $(x-2)!$ i w drugim ułamku używając $(x-3)!$.
$$\frac{x\cdot(x-1)}{2!}+\frac{(x-1)\cdot(x-2)}{2!}=4$$
(4) Mnożymy obie strony równania przez $2! = 2$.
$$x\cdot(x-1)+(x-1)\cdot(x-2)=8$$
(5) Następnie usuwamy nawiasy i upraszczamy równanie kwadratowe do jego standardowej postaci. $$\begin{aligned} x^2-x+x^2-3x+2&=8\cr 2x^2-4x-6&=0\cr x^2-2x-3&=0\cr \end{aligned}$$
(6) Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
$$D=b^2-4ac=4+12=16$$ $$n_1,\ n_2=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm4}{2}$$ $$n_1=3,\ n_2=-1$$
(7) Aby współczynnik dwumianowy ${n \choose k}$ był prawidłowy:
- $n\in\mathbb{N}$,
- $k\in\mathbb{N}\cup\left{0\right}$,
- $n\geq k$.
w tym przypadku
- $x\in\mathbb{N}$,
- $\left.\begin{aligned} &x\geq2\cr &x-1\geq2\Rightarrow x\geq3)\end{aligned}\right} x\geq3$
Dlatego wykluczamy liczbę $-1$ ze zbioru rozwiązań. $$K=\left{3\right}$$