Milan resolvió la ecuación con números combinatorios:
$${x \choose 2}+{x-1 \choose 2}=4$$
para $x\in\mathbb{N}$, de la siguiente forma:
(1) En primer lugar, según la fórmula ${n \choose k}=\frac{n!}{k!⋅(n-k)!}$ , Milan convirtió los números combinatorios de la ecuación en fracciones.
$$\frac{x!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(2) En ambas fracciones, descompuso los términos factoriales para poder eliminarlos más tarde. $$\frac{(x-1)\cdot(x-2)!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-2)\cdot(x-3)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(3) Eliminó los términos comunes en la primera fracción usando $(x-2)!$ y en la segunda fracción usando $(x-3)!$.
$$\frac{x-1}{2!}+\frac{x-2}{2!}=4$$
(4) Multiplicó ambas partes de la ecuación por $2! = 2$.
$$(x-1)+(x-2)=8$$
(5) Milan eliminó los paréntesis y resolvió la ecuación. $$\begin{aligned} 2x -3&=8\cr 2x&=11\cr x&=5.5 \end{aligned}$$
(6) La solución de la ecuación es el número $5.5$, que no es un número entero, $5.5\notin\mathbb{N}$. Por lo tanto, $K=\emptyset$.
¿Ha cometido Milan algún error durante el cálculo? En caso afirmativo, determina dónde.
Milan no cometió ningún error y resolvió el problema correctamente..
Milan cometió el primer error al descomponer en factores las expresiones factoriales en el paso (2). Se cumple que:
$$\begin{aligned} x!&=x\cdot(x-1)\cdot(x-2)!\cr (x-1)!&=(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)! \end{aligned}$$
Milan cometió el primer error al simplificar las fracciones en el paso (3). La ecuación debería haberse modificado de la siguiente manera:
$$\frac{(x-1)\cdot(x-2)}{2!}+\frac{(x-2)\cdot(x-3)}{2!}=4$$
Milan cometió el primer error en el paso (4). Afirma que $2!=4$, por lo que la ecuación debería haberse modificado de la siguiente manera: $$(x-1)+(x-2)=16$$
Los números decimales pueden aparecer en coeficientes binomiales, y la solución de la ecuación es el número hallado $5.5$. Milan cometió un error sólo en el último paso (6).
(1) En primer lugar, según la fórmula ${n \choose k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$ convertimos los números combinatorios de la ecuación en fracciones.
$$\frac{x!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(2) En ambas fracciones, descomponemos en factores los términos factoriales para poder eliminarlos más tarde.
$$\frac{x\cdot(x-1)\cdot(x-2)!}{2!\cdot(x-2)!}+\frac{(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)!}{2!\cdot(x-3)!}=4$$
(3) Eliminamos los términos comunes en la primera fracción usando $(x-2)!$ y en la segunda fracción usando $(x-3)!$.
$$\frac{x\cdot(x-1)}{2!}+\frac{(x-1)\cdot(x-2)}{2!}=4$$
(4) Multiplicamos ambos términos de la ecuación por $2! = 2$.
$$x\cdot(x-1)+(x-1)\cdot(x-2)=8$$
(5) A continuación, eliminamos los paréntesis y simplificamos la ecuación cuadrática a su forma convencional. $$\begin{aligned} x^2-x+x^2-3x+2&=8\cr 2x^2-4x-6&=0\cr x^2-2x-3&=0\cr \end{aligned}$$
(6) Resolvemos la ecuación cuadrática.
$$D=b^2-4ac=4+12=16$$ $$n_1,\ n_2=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm4}{2}$$ $$n_1=3,\ n_2=-1$$
(7) Para que un número combinatorio ${n \choose k}$ sea válido:
- $n\in\mathbb{N}$,
- $k\in\mathbb{N}\cup\left{0\right}$,
- $n\geq k$.
en nuestro caso:
- $x\in\mathbb{N}$,
- $\left.\begin{aligned} &x\geq2\cr &x-1\geq2\Rightarrow x\geq3)\end{aligned}\right} x\geq3$
Por lo tanto, excluimos el número $-1$ del conjunto de soluciones. $$K=\left{3\right}$$