Analytická geometria v priestore

2010008704

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH\), s dĺžkou hrany \( 3 \) jednotky, je umiestnená v súradnicovej sústave (viďte obrázok). Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných rovín \( \rho \) a \( \sigma \), kde \( \rho \) je určená bodmi \( D \), \( E \), \( G \) a \( \sigma \) je určená bodmi \( A \), \( C \), \( F \).
\( |\rho\sigma|=\sqrt3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{4\sqrt3}3 \)

2010008705

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH\), s dĺžkou hrany \( 4 \) jednotky, je umiestnená v súradnicovej sústave (viďte obrázok). Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných priamok \( p=PQ\) a \( r=RS \), kde body \( P \), \( Q \), \( R\) a \( S \) sú po rade stredy hrán \(BF\), \(BC\), \(EH\) a \(DH\).
\( |pr|=2\sqrt6 \)
\( |pr|=4\sqrt3 \)
\( |pr|=6\sqrt2 \)
\( |pr|=4\sqrt2 \)

2010008706

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH\), s dĺžkou hrany \( 4 \) jednotky, je umiestnená v súradnicovej sústave (viďte obrázok). Vypočítajte odchýlku \( \psi \) priamky \( CF \) od roviny \( \rho \), prechádzajúcej bodmi \( B \), \( D \) a \( H \). Nápoveda: Odchýlka priamky od roviny je odchýlka priamky od jej kolmého priemetu do tejto roviny.
\( \psi = \frac{\pi}6 \)
\( \psi = \frac{\pi}{12} \)
\( \psi = \frac{\pi}4 \)
\( \psi = \frac{\pi}3 \)

2010008707

Časť: 
C
V kocke \(ABCDEFGH\) s hranou dĺžky \(2\) jednotky, ktorá je umiestnená v súradnicovej sústave, je vyznačený pravidelný štvorsten \(BDEG\) (viďte obrázok). Vypočítajte odchýlku jeho stien a zaokrúhlite ju na minúty.
\(70^{\circ}32'\)
\(45^{\circ}0'\)
\(51^{\circ}4'\)
\(54^{\circ}44'\)

2010008708

Časť: 
C
Určte obraz bodu \(B=[4;-8;-7]\) v osovej súmernosti podľa priamky \(q\): \begin{align*} q\colon x&= 2+3t, \\ y&= 8+4t, \\ z&= -7-2t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Nápoveda: viďte obrázok.
\(B'=[-12;8;1]\)
\(B'=[-4;0;-3]\)
\(B'=[-4;-8;-13]\)
\(B'=[-4;8;7]\)

2010008709

Časť: 
C
Nájdite obraz bodu \(P=[4; −8; 7]\) v súmernosti podľa roviny \(\sigma \colon 3x - 2y + 4z + 2 = 0\). Nápoveda: Priamka \(PP'\) je kolmá na rovinu \(\sigma\) (viďte obrázok).
\(P'=[-8;0;-9]\)
\(P'=[-2;-4;-1]\)
\(P'=[10;-12;15]\)
\(P'=[16;-16;23]\)

2010008710

Časť: 
C
Nájdite obraz bodu \(R=[1; 10; -8]\) v súmernosti podľa roviny \(\omega \colon 2x - y -3z + 12 = 0\). Nápoveda: Priamka \(RR'\) je kolmá na rovinu \(\omega\) (viďte obrázok).
\(R'=[-7;14;4]\)
\(R'=[-3;12;-2]\)
\(R'=[-1;-10;8]\)
\(R'=[-5;34;-14]\)

2010008908

Časť: 
C
Dané sú mimobežné priamky $a$ a $b$. \begin{align*} a\colon x&= -1-2t, & b\colon x&= 1-3s, \\ y&= -2+3t, & y&=2s, \\ z&= -4+2t;\ t\in\mathbb{R}, & z&= 2-2s;\ s\in\mathbb{R}. \end{align*} Nájdite parametrické vyjadrenie priamky $p$, ktorá pretína obe priamky $a$ a $b$ a leží v rovine $2x+3y-z-8=0$.
$\begin{aligned} p\colon x&=-9+r, \\ y&=10+r, \\ z&=4+5r;\ r\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=-9-2r, \\ y&=10-2r, \\ z&=4+10r;\ r\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=-9-10r, \\ y&=10+9r, \\ z&=4-r;\ r\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=-9+2r, \\ y&=10+2r, \\ z&=4-2r;\ r\in\mathbb{R} \end{aligned}$

2010016101

Časť: 
C
Daná je rovnica \( x^2+y^2+z^2+2x-8y+z+17=0\). Ak je to vyjadrenie guľovej plochy, určte súradnice jej stredu \(S\) a veľkosť polomeru \(r\).
\( S= \left[ -1;4;-\frac12\right]\), \(r=\frac12\)
\( S= \left[ -1;4;-\frac12\right]\), \(r=\frac14\)
\( S= \left[ 1;-4;\frac12\right]\), \(r=\frac12\)
\( S= \left[ 1;-4;\frac12\right]\), \(r=\frac14\)
Nie je to rovnica guľovej plochy.