Eva mala za úlohu vypočítať nasledujúcu limitu: $$ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2+1}{2x^2} $$ Zo svojich hodín matematiky si pamätala, že ak počíta limitu podielu a čitateľ aj menovateľ smerujú k nekonečnu, môže použiť l’Hospitalovo pravidlo. Vďaka l’Hospitalovmu pravidlu môže na výpočet limity použiť derivácie.
(1) Keďže v tomto prípade ide o podiel, použila nasledujúce pravidlo pre deriváciu: $$ \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2 } $$ a upravila limitu nasledovne: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{2x^2 } =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x \cdot 2x ^2-(x^2+1) \cdot 4x}{4x^4 } $$
(2) Následne zjednodušila výraz v limite: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ 2x \cdot 2x^2-(x^2+1)\cdot 4x}{4x^4} =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x ^3-4x^3-4x}{4x^4}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-4x}{4x^4}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{x^3} $$ Problémová hodnota $x$, spôsobujúca, že výraz má tvar $\frac{\infty}{\infty}$, bola zrušená a eliminovaná z čitateľa.
(3) Pri ďalšom výpočte tejto limity Eva použila fakt, že $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} =0 $$ a dostala: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{x^3} =0 $$
(4) Na základe tohto výsledku dospela k záveru, že $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{2x^2} =0. $$ Urobila Eva chybu? Ak áno, uveďte kde.
Áno. Chyba je v kroku (1). L'Hospitalovo pravidlo sa neuplatňuje správne.
Áno. Chyba je v kroku (2). Nemôžeme napísať $\frac{-4x}{4x^4}=\frac{-1}{x^3}$. Nevieme, či $x=0$.
Áno. Chyba je v kroku (3). Malo to byť: $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{x^3} =-\infty$$
Áno. Všetky kroky sú zbytočné. Výraz v tvare $\frac{\infty}{\infty}$ sa vždy rovná $1$.
Nie. Celý postup je správny.
Pri aplikácii l’Hospitalovho pravidla musíme vziať do úvahy skutočnosť, že čitateľ a menovateľ sa derivujú osobitne. Eva si pomýlila toto pravidlo s deriváciou podielu, a preto jej postup pri hľadaní limity nie je správny. Správny spôsob aplikácie l’Hospitalovho pravidla je: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{2x^2 } =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{4x}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac24=\frac12. $$