Ewa miała za zadanie obliczyć następującą granicę: $$ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2+1}{2x^2} $$ Z lekcji matematyki zapamiętała, że jeśli oblicza granicę ilorazu, a zarówno licznik, jak i mianownik dążą do nieskończoności, może skorzystać z reguły l'Hospitala. Dzięki regule l'Hospitala może użyć różniczkowania do znalezienia granicy.
(1) Ponieważ w tym przypadku jest to iloraz, zastosowała następującą regułę różniczkowania: $$ \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2 } $$ i zmodyfikowała granicę w następujący sposób: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{2x^2 } =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x \cdot 2x ^2-(x^2+1) \cdot 4x}{4x^4 } $$
(2)Następnie uprościła wyrażenie w granicy: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ 2x \cdot 2x^2-(x^2+1)\cdot 4x}{4x^4} =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x ^3-4x^3-4x}{4x^4}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-4x}{4x^4}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{x^3} $$ Problematyczny $x$, powodując, że wyrażenie będzie miało postać $\frac{\infty}{\infty}$, został anulowany i wyeliminowany z licznika.
(3) Ponadto, obliczając tę granicę, Ewa zastosowała fakt, że $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} =0 $$ i uzyskała $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{x^3} =0 $$
(4) Opierając się na wyniku, wywnioskowała, że $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{2x^2} =0. $$ Czy Ewa popełniła błąd? Jeśli tak, określ gdzie.
Tak. Błąd występuje w kroku (1). Reguła L'Hospitala nie została zastosowana poprawnie.
Tak. Błąd tkwi w kroku (2). Nie możemy napisać $\frac{-4x}{4x^4}=\frac{-1}{x^3}$. Nie wiemy czy $x=0$.
Tak. Błąd jest w kroku (3). Powinno być: $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{x^3} =-\infty$$
Tak. Wszystkie kroki są zbędne. Wyrażenie formuły $\frac{\infty}{\infty}$ zawsze równa się $1$.
Nie. Cała procedura jest prawidłowa.
Stosując regułę L'Hospitala, musimy wziąć pod uwagę fakt, że licznik i mianownik są różniczkowane oddzielnie. Ewa pomyliła tę regułę z pochodną ilorazu, więc jej procedura znajdowania granicy nie jest poprawna. Prawidłowy sposób zastosowania reguły L'Hospitala to: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{2x^2 } =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{4x}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac24=\frac12. $$