$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2+1}{2x^2} \end{aligned}$

Eva měla zadanou následující úlohu: $$ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2+1}{2x^2} $$ Z hodin matematiky si pamatovala, že při výpočtu limity v podílovém tvaru, kdy se čitatel i jmenovatel blíží nekonečnu, může využít l’Hospitalovo pravidlo. Díky l’Hospitalovu pravidlu může k výpočtu limity použít derivaci.

(1) Jelikož se v tomto případě jedná o podíl, použila následující pravidlo pro derivaci: $$ \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2 } $$ a upravila limitu následovně: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{2x^2 } =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x \cdot 2x ^2-(x^2+1) \cdot 4x}{4x^4 } $$ (2) Poté zjednodušila výraz v limitě: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ 2x \cdot 2x^2-(x^2+1)\cdot 4x}{4x^4} =\lim_{x \rightarrow \infty} ⁡ \frac{4x ^3-4x^3-4x}{4x^4}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-4x}{4x^4}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{x^3} $$ Problémová hodnota $x$, která způsobovala, že výraz byl ve tvaru $\frac{\infty}{\infty}$, byla zrušena a odstraněna z čitatele.

(3) Dále při výpočtu této limity Eva použila fakt, že $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} =0 $$ a získala: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{x^3} =0 $$

(4) Na základě tohoto výsledku dospěla k závěru, že $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{2x^2} =0. $$ Udělala Eva chybu? Pokud ano, určete kde.